Рассмотрим АТТ и разобьем его на N элементарных объемов ?Vk. Далее будет исследоваться случай, когда число N этих элементарных объемов стремится к бесконечности. Сами объемы при этом будут стягиваться к точкам.
Фактически r k – это радиус-вектор некоторой точки, взятой внутри объема (например, его центра). Поскольку размеры объема стремятся к нулю, точное положение этой точки внутри элементарного объема нас сейчас не интересует. Пусть тело находится в однородном поле сил тяжести.
Вы знаете из курса физики, что поле сил тяжести в каждой точке характеризуется вектором g – вектором ускорения свободного падения. В случае одно- родного поля в любой точке этот вектор один и тот же – и по модулю, и по на- правлению.
Для не слишком протяженных тел в поле тяготения Земли это верно с весьма большой степенью точности. Понятие удельного веса Вам знакомо; напомню, что он равен пределу отношения модуля силы тяжести к элементарному объему, когда последний стремится к нулю.
Если тело не является однородным (т.е. имеет в разных точках различную плотность), то и удельный вес в различных точках тела будет различным, что и отражено в наших обозначениях.
Записанная нами формула верна лишь приближенно – с точностью до бесконечно малых слагаемых более высокого порядка малости. Действительно, мы пренебрегаем различием в значениях удельного веса в разных точках элементарного объема. Если повернуть тело вокруг оси, проходящей через C, то положение центра тяжести не изменится.
Иными словами, им по-прежнему будет точка C. Действительно, такой по- ворот эквивалентен одновременному повороту системы сил тяжести; а положение центра параллельных сил не меняется при одновременном повороте. Он не только ввел понятие центра тяжести, но и определил его положение для многих конкретных тел; интегралами при этом он, конечно, не пользовался, а действовал при решении конкретных задач так: находил с помощью некоторых нестрогих методов значение предела, а потом уже строго – рассуждением от противного – доказывал, что это значение не может быть никаким другим. Архимед заложил также основы гидростатики (включая знаменитый закон Архимеда). Он сделал первый шаг по пути аксиоматизации механики, сформулировав ряд аксиом о равновесии рычага, и дал вполне точное решение этой задачи.
В математике он предложил методы вычисления площадей и объемов тел, которые предвосхищали многие идеи интегрального исчисления. Для творчества Архимеда было характерно сочетание строгих математических методов и инженерного подхода. Он изобрел немало весьма интересных машин и механизмов.
Хотя задачи механики, которыми занимался Архимед, были – с современной точки зрения – достаточно простыми, его достижения выдержали проверку временем и послужили отправным пунктом для многих исследований позднейшего времени. Напомню, что о творчестве другого великого механика древности – Аристотеля – этого сказать нельзя.