Траектория движения одной частицы.
Рассмотрим идеальный газ. (Вспомним, что идеальный газ - это модель реального газа в котором:
1) отсутствует взаимодействие между молекулами;
2) молекулы - материальные точки определенной массы (занимают бесконечно малый объем по сравнению с объемом сосуда);
3) при столкновении между собой и со стенками сосуда ведут себя как упругие шарики;
4) молекулы равномерно распределены по объему).
Данное вещество занимает объем V и состоит из большого количества частиц N.
Газ находится в состоянии теплового равновесия в которой N1 частиц обладают скоростями v1; N2 - v2; N3 - v3 ...
Обсчитаем давление газа на элемент поверхности ΔS на основе молекулярно-кинетической теории (МКТ) и механики Ньютона. При этом учитывать, что удары молекул (атомов, ионов) упругие, молекулы массивные (m) и молекулы тождественны между собой.
Рассмотрим движение одной частицы - молекулы. В результате столкновения со стенкой, она меняет импульс:
Изменение импульса одной частицы при столкновении с препятствием.
ДР = - 2mv1x
Сила, с которой действуют молекулы 1-го сорта на площадку ΔS:
ΔF1x = 2mv1x ΔN1 / Δt
где - ΔN1 - число столкновений молекул со скоростями v1 с площадкой ΔS за время Δt.
В расчет количества столкновений.
Просчитаем число столкновений ΔN1:
ΔN1 = ½ • N1v1x Δt ΔS / V
Коэффициент ½ объясняется хаотичностью движения частиц (только половина частиц движутся влево).
Поэтому значение силы ΔF1x приобретает следующий вид:
ΔF1x = 2mv1x ΔN1 / Δt = ... = mv21x N1 ΔS / V
Полная сила, действующая на площадку ΔS со стороны всех молекул, имеющих различные скорости:
ΔFx = ΔF1x + ΔF2x + ΔF3x + ... = mv21x N1 ΔS / V +
+ Mv22x N2 ΔS / V + mv23x N3 ΔS / V + ...
Искомое значение давления р равен:
р = ΔFx / ΔS = (v21x N1 + v22x N2 + v23x N3 + ...) m / V =
= N <vx2> m / V,
где <vx2> - среднее значение квадрата составляющей скорости молекулы в направлении оси Ох.
Поскольку в силу хаотичности движения все направления равноправны, поэтому
<v2> = <vx2> + <vн2> + <vя2> = 3 <vx2>.
Подставляя последнее соотношение в уравнение для давления получаем основное уравнение МКТ, полученное только с использованием законов Ньютона и основных положений молекулярно-кинетической теории.
pV = ⅓ mV <v2> = ⅓ nm <v2> = ⅔ n <Ek>
Другая форма записи основного уравнения МКТ
pV = ⅔ N <Ek>; p = ⅓ ρ <v2>.
Учитывая значение средней квадратичной скорости по распределению молекул по скоростям, установленным Максвеллом в 1859 году получим:
Vс.кв. = (3кТ / m) 1/2; <Ek> = 3kT / 2.
Подставляя значение средней кинетической энергии поступательного движения молекул в основное уравнение МКТ получим еще одну формулу для нахождения давления идеального газа:
p = nkT
В последней формуле:
р - давление газа; к - постоянная Больцмана, Т - температура газа.