Δl заряда q.
При перемещении пробного заряда q в электрическом поле электрические силы выполняют работу. Эта работа при малом перемещении Δl равна (рис. 1):
ΔA = F ∙ Δl ∙ cosα = qEΔlcosα = qElΔl.
Электрическое поле обладает важным свойством:
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.
Подобную свойство имеет гравитационное поле, и это понятно, поскольку гравитационные и кулоновские силы описываются подобными соотношениями.
Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение:
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.
Силовые поля, обладают таким свойством, называют потенциальными или консервативными.
Рис.2 Работа кулоновских сил при перемещении заряда q не зависит от траектории, а зависит только от начального и конечного положений: r1 и r2.
На рис. 2 изображена силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение Δl. Работа ΔA кулоновских сил на этом перемещении равна:
ΔА = FΔl ∙ cosα = qEΔr = QqΔr / (4πε0 ∙ r2).
Итак, работа на малом перемещении зависит только от расстояния r между зарядами и его изменения Δr. Если это выражение проинтегрировать на интервале от r = r1 до r = r2, то получим:
Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториям I и II, изображенных на рис. 2, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда q на противоположное, то работа тоже изменит знак.
Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа кулоновских сил равна нулю.
Если электростатическое поле создает несколько точечных зарядов Qi, то при перемещении пробного заряда q работа A результирующего поля в соответствии с принципом суперпозиции будет состоять из работ Ai кулоновских полей точечных зарядов: А = ΣАи. Поскольку каждый член суммы Ai не зависит от формы траектории, то и полная работа A результирующего поля зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек траектории.