В лекции обсуждается подход к описанию рационального поведения потребителя, не использующий количественного представления полезности и базирующийся лишь на способности потребителя сопоставить два любых набора благ и либо установить, какому из них отдать предпочтение
, либо признать их равноценными. Мы будем здесь использовать следующие символы для описания соответствующих отношений:
А f В означает «А не хуже, чем В»;
А ф В — «А лучше, чем В»;
А Ь В — «А столь же привлекательно, как В».
В дальнейшем будем использовать слова «улучшение», «ухудшение» и т. д. в смысле отношения предпочтения, которым руководствуется данный потребитель. В таком же значении будем говорить о «возрастании» и «убывании полезности», не вкладывая в эти выражения количественного смысла.
Сформулируем некоторые основные свойства потребительских предпочтений, рассматривая их как отношения между элементами пространства благ.
1. Если х. 3 y. , i = 1, ...,n, то X f Y. Если к тому же Xі Y, то X ф Y. Это свойство характеризует монотонность предпочтения по каждой координате. Его называют ненасыщаемостью потребителя.
2. Если U p С Р V, то на отрезке UV существует точка W, такая, что W С. Иными словами, если точки U и V расположены в различных частях, на которые пространство делится множеством безразличия, то отрезок UV пересекает это множество. Это свойство характеризует непрерывность предпочтения.
Отмеченное свойство на первый взгляд кажется само собой разумеющимся. Тем не менее существуют такие предпочтения, для которых оно не имеет места. Примером может служить так называемое лексикографическое (алфавитное) упорядочение:
X ф Y, если x1 > y1
или x1 = y 1 и x2 > y2,
Непрерывность — чрезвычайно важное свойство предпочтения. Из него, в частности, следует существование функции полезности u(X), значения которой согласованы с предпочтениями: u(X) > u(Y) тогда и только тогда, когда X f Y.
Постарайтесь доказать это утверждение самостоятельно, последовательно рассмотрев следующие положения.
Пусть В — вектор, все компоненты которого положительны, a R — луч, состоящий из точек вида aB, a 3 0.
1) для любого X с неотрицательными компонентами на луче найдутся точки U, V, такие, что U n X n V;
2) на луче R найдется точка W, такая, что W Ь X. Иными словами, луч R пересекает все множества безразличия;
3) построим функцию u(X) следующим образом. Возьмем такое число a, что X Pi a В (в силу п. 2 для любого X такое число обязательно найдется). Положим u(X) = a;
4) если a > b, то a В f b В, и обратно;
5) если u(X) > u(Y), то X f Y, и обратно, т. е. построенная в п. 3 функция есть функция полезности.
Если существует хотя бы одна функция полезности, то их существует бесконечно много: если j (u) — монотонно возрастающая функция, то u*(X) = j (u(X)) — также функция полезности.
Непрерывность — существенное условие существования функции полезности. Если бы предпочтение не было непрерывным, то функция полезности могла бы не существовать. Доказано, например, что для лексикографического упорядочения не существует функция полезности.
Существование функции полезности позволяет утверждать, что множество безразличия — это множество, удовлетворяющее уравнению u(X) = с, где с — константа. Иными словами, множество безразличия — это поверхность уровня функции полезности. Поэтому в дальнейшем мы с полным правом можем говорить о поверхности безразличия.
3. Отказ от количественного измерения полезности требует заменить закон убывающей предельной полезности (поскольку она также неизмерима) таким допущением о предпочтениях, которое так же согласовывалось бы с наблюдаемыми эффектами поведения потребителя. Продолжим рассмотрение двумерного случая и выясним, как будет изменяться полезность, если мы будем двигаться не по кривой безразличия, а по некоторой прямой. При этом отношение ? = Ax2 / Ax1, будет оставаться постоянным. Для нас будет важен следующий факт: если, начав движение с некоторой точки, мы, сделав маленький шаг, не получим улучшения набора, то при дальнейшем движении наборы будут монотонно ухудшаться.
Для направлений, в которых x1 и x2 оба возрастают или оба убывают, утверждение непосредственно следует из монотонности предпочтений. Поэтому ограничимся случаем, когда одна из координат (для определенности, x1) возрастает, а другая — убывает.
Пусть, отправляясь из точки А, после первого шага мы попали в точку В и при этом не произошло улучшения набора. Это значит, что в окрестности точки В норма замещения не больше коэффициента b: потеря |Ax2| = ?Ax1 не перекрывается возрастанием объема первого блага на величину Ax1. При переходе от В к С с ростом x1 и снижением x2 норма замещения уменьшится, станет наверняка меньше, чем b, а поэтому С р В.
Теперь мы можем сказать, как будет изменяться полезность наборов на отрезке прямой. Здесь возможны два случая:
а) при движении вдоль отрезка наборы монотонно улучшаются (в противоположном направлении — монотонно ухудшаются);
б) наборы вначале будут улучшаться, а после прохождения некоторой точки — ухудшаться (и то же самое будет происходить при движении в противоположном направлении).
Наилучшая точка отрезка может быть и внутренней, и конечной, а наихудшая располагается обязательно на конце отрезка. Не исключено, что оба конца окажутся «одинаково плохими».
Перейдем теперь к n-мерному случаю. Возьмем два произвольных набора благ U и V. Потребитель может рассматривать наборы U, взятые в некотором количестве, как благо одного вида, а взятые в некотором количестве наборы V — как благо второго вида; назовем их «комплектное благо 1» и «комплектное благо 2». Теперь обсуждаемое допущение можно сформулировать следующим образом: при замене любого комплектного блага любым другим норма замещения убывает с увеличением объема замещаемого блага.
Рассмотрим множество W наборов, включающих только комплектные блага 1 и 2 в произвольных количествах. Все такие наборы имеют вид X = ?1U + ?2 V, где ? 1 и ?2, — неотрицательные числа, выражающие количества комплектных благ. Отрезок UV состоит из точек вида (1 -a)U + aV, причем a3 0 и 1- a3 0, так что отрезок UV целиком содержится в множестве W. Но множество W — это двухпродуктовое пространство, в котором существуют только комплектные блага 1 и 2. А мы уже знаем, что в двухпродуктовом пространстве закон убывающей предельной полезности имеет своим следствием тот факт, что наихудшая точка любого отрезка лежит на его конце.
Возьмем теперь в пространстве благ какую-либо поверхность безразличия и точку С на ней. Пусть U f C и V f C, a точка X расположена на отрезке UV. Тогда обязательно имеет место отношение X f С — ведь наихудшая точка отрезка UV — это U или V.
Таким образом, если U и V принадлежат множеству точек, не уступающих точкам данной поверхности безразличия, то и весь отрезок UV также принадлежит этому множеству. А это означает, что закон убывающей предельной полезности в пространстве благ любой размерности «выглядит» точно так же, как и в пространстве двух благ: множество наборов, не менее предпочтительных, чем лежащие на данной поверхности безразличия, выпукло.
Загрузка...