В настоящем пункте будет рассмотрена задача, имеющая следующую структуру:
f(X)\ max (3)
при условии
g(X) = 0.
Для иллюстрации некоторые авторы приводят такой пример. По склону горы идет дорога, требуется найти на ней самую высокую точку. На . 1 представлена карта местности с нанесенными на нее линиями равных высот; синяя линия — это дорога. Точка М, в которой дорога касается одной из линий уровня, — это и есть наивысшая точка дороги.
Если X = (x1, x2) — точка плоскости, x1 и x2 — ее координаты, то задаче можно придать следующую форму. Пусть f(X) — высота точки X над уровнем моря, а уравнение g(X) = 0 описывает дорогу. Тогда наивысшая точка дороги —
решение задачи (3). Если бы дорога проходила через вершину горы, то ее высшая точка была бы самой высокой точкой местности, и ограничение можно было бы не принимать во внимание.
Если же дорога не проходит через вершину, то, немного уклонившись от дороги, можно было бы подняться выше, чем двигаясь строго по дороге. Отклонение от дороги соответствует попаданию в такие точки, где g(X) 1 0; при малых отклонениях достижимую при этом высоту можно приближенно считать пропорциональной отклонению.
Идею решения задачи Лагран-жа можно представить следующим образом: можно попытаться «исправить» рельеф местности так, чтобы отклонение от дороги не давало преимуществ в достижении высоты. Для этого нужно заменить высоту f(X) функцией
L(X) = f(X) - lg(X),
где множитель l подбирается таким образом, чтобы участок склона в окрестности точки М стал горизонтальным (слишком малое значение l не устранит преимуществ отклонений от дороги, а слишком большое — придаст преимущества отклонениям в противоположную сторону). Приведенные выше рассуждения, разумеется, не являются доказательством сформулированного здесь утверждения; они лишь помогают понять существо метода: составляющая lg(X) в составе функции Лагранжа должна уравновешивать возможное увеличение максимального значения функции f(X) при малом отклонении (на единицу) значений функции g(X) от нуля. Это обстоятельство в дальнейшем будет весьма полезно при обсуждении смысла множителя Лагранжа.
Рассмотрим чрезвычайно простой пример. Веревкой длины А требуется огородить на берегу моря прямоугольный участок наибольшей площади (берег считается прямолинейным).
Это один из вариантов так называемой задачи Дидоны. Дидона, сестра тирского царя, — легендарная основательница и первая властительница Карфагена. Покинув родину и прибыв в Северную Африку, она купила у местных жителей прибрежный участок, который, по условию, можно огородить воловьей шкурой. Разрезав шкуру на тонкие ремешки, она связала из них тонкую веревку. Остальное — геометрическая задача: огородить участок наибольшей возможной площади.
Обозначим стороны прямоугольника х1 и х2 (. 3). Решим сначала задачу без использования метода Лагранжа.
Очевидно, х2 = А — 2х1, и площадь прямоугольника равна S = = х1х2= х1(А — 2х1). Рассматривая ее как функцию одного аргумента х1, нетрудно найти его значение, при котором площадь максимальна: х1= = А/4. Отсюда х2 = А/2. Максимальная площадь равна S* = А2/8. Этот пример показывает распространенный способ решения задачи Лагранжа. Соотношения (4) и (5) образуют систему уравнений относительно x1,...y xn и l. Система состоит из n + 1 уравнения — n уравнений вида (4) и одно уравнение вида (5). Число уравнений равно числу неизвестных. Из уравнений вида (4) можно попытаться выразить каждую из неизвестных x1,...,xn через ly т. е. решить ее как систему из n уравнений, рассматривая l как параметр. Подставляя получившиеся выражения в уравнение (5) — напомним, что оно совпадает с ограничением, — получаем уравнение относительно l. Решая его, находят l, после чего определяются исходные неизвестные xiy...,xn.