В производную dP/dt войдут слагаемые midvi /dt. По закону Ньютона каждое такое слагаемое можно приравнять результирующей внешней силе Fi и результирующей внутренней силе fi со стороны остальных частиц.
При суммировании Fi и fi сумма всех внутренних сил будет равна нулю, так как, например, для силы f12 согласно третьему закону Ньютона найдётся равная по модулю и противоположная сила f21. Импульс системы можно представить как произведение общей массы m системы на некоторую скорость VC, которую называют скоростью центра масс системы. Формулировка закона изменения импульса в терминах центра масс От закона изменения импульса легко перейти к закону сохранения импульса:
Fi = 0, F = 0, P = const.
Механическая система, на которую не действуют никакие внешние силы, называется замкнутой системой.
В замкнутой механической системе импульс есть величина постоянная.
В терминах центра масс этот закон формулируется так:
Fi = 0, F = 0, VC = const;
Центр масс замкнутой механической системы покоится или движется равномерно и прямолинейно.
Закон сохранения и изменения энергии.
Рассмотрим сначала простейшую систему, состоящую из одного точечного тела.
Далее уравнение скалярно помножим на перемещение dl = vdt. В результате слева будет величина m(v?dv) = d(0,5v2) = dEk, Величина Ek = 0,5mv2 была названа кинетической энергией. Справа появится величина
(F?dl) = Fldl = ?A. Эту величину называют элементарной работой силы на отрезке пути dl.
На каком-либо участке траектории работа действующих на тело всех сил равна изменению кинетической энергии тела.
В случае силового поля внешних неподвижных тел работа по перемещению какого-либо пробного тела не зависит от формы пути, а зависит лишь от начального и конечного положений тела. Это позволяет ввести потенциальную энергию тела (наряду с кинетической). Представим себе, например, лёгкое заряженное тело имеет на бесконечном удалении от одноимённо заряженного внешнего массивного тела скорость v и начинает приближаться. По мере приближения пробное тело замедляется и в какой-то момент останавливается. Кинетическая энергия в этот момент равна нулю.
Но какой смысл говорить, что движение исчезло, если в следующие моменты тело вновь приобретёт скорость? Резонней говорить о переходе открытой (явной ) формы движения (кинетическая энергия) в некую скрытую форму. Какой же мерой обладает тело в точке остановки по сравнению с кинетической энергией на бесконечном удалении? Такой мерой является возможность совершения работы над телом при перемещении из данного положения в бесконечность (где тело уже не испытывает влияния силового центра).
Потенциальной энергией тела в силовом постоянном поле называют запас возможной работы при перемещении тела из данного положения в некоторое нулевое (стандартное) положение. Работу по перемещению тела из положения 1 в положение 2 можно выразить через изменение потенциальной энергии. Сила есть взятый со знаком «-» градиент потенциальной энергии.
Введение потенциальной энергии позволяет сформулировать закон сохранения энергии для материальной точки. В консервативных системах полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, сохраняется.
Эта формулировка подходит и для системы из N материальных точек. В этом случае потенциальная энергия может быть подразделена на потенциальную энергию в поле внешних консервативных сил и потенциальную энергию взаимодействия частиц между собой. Аналогично, кинетическая энергия системы может быть представлена как сумма кинетической энергии движения системы как целого (половина произведения массы всей системы на квадрат скорости центра масс) и кинетической энергии движения частиц относительно центра масс. В случае, если внешнее силовое поле является однородным (как, например, поле силы тяжести), то потенциальную энергию можно записать как энергию тела с массой всей системы и с координатами центра масс.
Закон изменения механической энергии формулируется для случая, когда создающие силовое поле внешние тела движутся в выбранной системе отсчёта. Соответствующее этому силовое поле изменяется со временем. Силы называют сторонними, или неконсервативными. Изменение полной энергии равно работе сторонних (неконсервативных) сил. К сторонним силам можно отнести и диссипативные силы, действующие внутри системы.