Процесс распространения волн в упругой среде сопровождается переносом энергии от источника волны в окружающую среду, от одних участков к другим.
Пусть в упругой среде вдоль оси Ох распространяется продольная волна:
ξ (x, t) = А cos (ωt - kx).
Найдем энергию, переносит эта волна.
Условно выделим в этой среде малый объем ΔV, в котором все частицы колеблются в одинаковой фазе и скорости частиц одинаковы. Значение скорости частицы v найдем из уравнения волны:
v = (ξ) '= - Aωsin (ωt - kx).
Кинетическая энергия этого объема равно:
? К = Δmv2 / 2 = ½ ρ v2ΔV = ½ • ρA2ω2ΔVsin2 (ωt - kx).
Можно доказать, что потенциальная энергия деформации избранное объема в волновом процессе равна его кинетической энергии:
? П =? К = ½ • ρA2ω2ΔVsin2 (ωt - kx).
Так что в случае плоской волны? П и? К каждого малого объема упругой среды одинаковы. Замечу, что максимум потенциальной энергии (максимальная деформация) приходится на те участки среды, кинетическая энергия которых максимальна. Это свойство является характерным для произвольных бегущих волн, поскольку связана только с механизмом распространения волн в упругой среде.
Полная механическая энергия объема ΔV:
ΔЕ =? П +? К = ρA2ω2ΔVsin2 (ωt - kx).
Полная механическая энергия ΔЕ = ΔЕ (x, t) является функцией от времени и координаты.
Усреднив последнее выражение, снижая при этом степень, получим среднее значение полной механической энергии:
ΔЕсер = ½ ρA2ω2ΔV.
Средняя плотность энергии
w = ½ ρA2ω2.