Мир науки

Рефераты и конспекты лекций по географии, физике, химии, истории, биологии. Универсальная подготовка к ЕГЭ, ГИА, ЗНО и ДПА!

Загрузка...

 

Основные понятия и аксиомы статики Начнем с определения статики. Статика – раздел теоретической механики, в котором изучается равновесие материальных тел под действием приложенных сил. Уже в самом этом определении мы встречаемся с нетривиальными понятия- ми силы и равновесия. Поэтому начнем с анализа основных, наиболее фундаментальных понятий механики.


 

1. Основные понятия механики Начнем с первого из встретившихся нам понятий. Равновесие тела – состояние, в котором все его точки находятся в покое относительно выбранной системы отсчета. Понятие равновесия тела обладает весьма высокой степенью общности, но все-таки не является фундаментальным. Мы только что видели, что оно сводится к понятиям покоя и системы отсчета. Займемся этими понятиями. Они тоже не являются фундаментальными (т.е. первичными) понятиями механики. Фундаментальные понятия механики мы сейчас перечислим. Фундаментальные (неопределяемые) понятия механики: пространство, время, тело, масса, сила.

 

Эти понятия не могут быть выражены через какие-то другие. Смысл их выражается через аксиомы, характеризующие их свойства и отношения друг к другу. Аксиомы, как Вы знаете, являются исходными положениями теории; их истинность постулируется, а не доказывается средствами логического вывода. Для того, чтобы дать определение системы отсчета, введем предварительно такое определение. Геометрическая твердая среда – совокупность точек, расстояния между которыми остаются неизменными; заполняет все пространство.

 

Это, разумеется, чисто умозрительная конструкция. Однако и многие другие понятия в науке, если вдуматься, таковы. Они представляют собой идеализацию реальных объектов и явлений, иногда заходящую весьма далеко. Важно только, чтобы такая идеализация была плодотворной.

Если все же требуется наглядно представить себе геометрическую твердую среду, то можно вообразить, скажем, прозрачный блок льда. Представим – мыс- ленно – что этот блок становится все больше и больше, пока не заполнит все пространство. При этом мы предполагаем, что он абсолютно проницаем для других тел, которые движутся внутри него как в пустоте.

 

Можно прийти к понятию геометрической твердой среды и иначе. Заметим, что ее определение очень похоже на определение абсолютно твердого тела; только добавляется требование, чтобы она заполняла собой все пространство. Отсюда вытекает такая интерпретация понятия геометрической твердой среды. Пример. Рассмотрим выпуклое АТТ, и пусть O – внутренняя точка тела. Рассмотрим всевозможные отрезки, соединяющие точку O с границей тела. Тогда объединение всех отрезков совпадает с множеством точек тела.

 

Объединение трактуется как в математике: точка принадлежит объединению отрезков, если она принадлежит хотя бы одному из них. При этом каждая точка тела (кроме, разумеется, самой точки O) принадлежит ровно одному отрезку.

 

Если тело движется, то и отрезки движутся вместе с ним. Выпуклость тела большой роли в нашем примере не играет. Она предполагается, чтобы сделать формулировки более краткими (ведь если тело не является выпуклым, то может случиться так, что не всякая точка наших отрезков будет принадлежать телу). Продолжим теперь каждый отрезок до бесконечности: получим луч. Объединение всех лучей даст геометрическую твердую среду, жестко связанную с данным АТТ.

 

На самом деле эта конструкция является универсальной. В принципе вся- кую геометрическую твердую среду можно считать жестко связанной с некоторым абсолютно твердым телом (реальным или воображаемым). Наглядно можно представить себе, что данное твердое тело намертво вмер- зло в эту среду и движется вместе с ней. Можно сказать и так:

 

Геометрическая твердая среда – это абсолютно твердое тело (реальное или воображаемое), от размеров и формы которого мы абстрагируемся. Теперь – о системах отсчета. Система отсчета (СО) – произвольная геометрическая твердая среда, по отношению к которой рассматривается движение точек и тел.

 

С учетом того, что мы знаем уже о геометрических твердых средах, можно считать, что всякая система отсчета связана с каким-либо твердым телом (реальным или воображаемым); такое тело обычно называют отсчетным телом.

 

Во многих задачах достаточно ограничиться введением только одной системы отсчета. Тогда под словами “точка движется” подразумевают, что ее положение относительно данной системы отсчета изменяется с течением времени. Если же ее положение относительно данной системы отсчета не меняется, то говорят просто: “точка покоится”.

 

Само отсчетное тело и связанная с ним система отсчета предполагаются в этих рассуждениях неподвижными. Разумеется, отсчетное тело может совершать движение относительно какой-нибудь другой системы отсчета, но об этом сейчас речь не идет.

 

Чтобы упростить нашу терминологию, примем следующее соглашение. Соглашение. Зафиксируем некоторую СО, которую будем называть условно неподвижной (у.н.СО). Будем говорить, что точка движется (или находится в покое), если она с течением времени из- меняет (не изменяет) свое положение относительно у.н.СО. Разумеется, тело мы называем покоящимся, если находятся в покое все его точки.

 

Словом “условно” как раз и выражают тот факт, что данная система отсчета полагается неподвижной именно в данной конкретной задаче, т.е. в рамках данного соглашения. В большинстве задач механики считают, что у.н.СО связана с Землей.

 

Речь идет о задачах, с которыми мы обычно сталкиваемся в повседневной жизни. Но не всегда такой выбор условно неподвижной системы отсчета разу- мен. Например, при изучении движения планет или межпланетных зондов условно неподвижную систему отсчета связывают с неподвижными звездами.

 

Следует особо подчеркнуть, что бессмысленно говорить о движении, если не указано, по отношению к какой системе отсчета оно рассматривается. Вот пример: пусть человек стоит на железнодорожной платформе. Мы можем систему отсчета связать с платформой, а можем – с проходящим мимо нее поездом. Относительно первой системы отсчета человек покоится, относительно второй – движется. Неподвижная система координат – система декартовых координат, связанная с у.н.СО.

Можно было бы сказать “условно неподвижная”; однако это не обязательно, поскольку мы уже сделали эту оговорку относительно самой системы отсчета.

 

Здесь изображена некоторая точка M, положение которой задается радиус- вектором r---- относительно начала неподвижной системы координат. Если точка движется, то ее радиус-вектор меняется; если она находится в покое, то он остается постоянным.

 

Штриховкой в механике помечают неподвижные объекты; значит, на рисунке показано, что оси системы координат неподвижны.

 

Назначение системы координат – в том, что с ее помощью можно перейти от векторной записи формул к скалярной. Например, положение нашей точки M можно охарактеризовать тремя ее координатами xM, yM, zM (которые, разумеется, будут одновременно являться проекциями ее радиус-вектора на оси x, y, z).

 

Теперь с понятием равновесия мы вполне разобрались. Вернемся к тому перечню фундаментальных понятий, который мы уже приводили. Напомню этот перечень: пространство, время, тело, масса, сила. Сейчас мы ограничимся лишь краткой характеристикой этих понятий. Во- обще же, мы не раз на протяжении всего курса будем обращаться к тем или иным свойствам основных понятий механики. Пространство в классической механике – трeхмерно и евклидово.

 

Последнее означает, что пространство удовлетворяет всем аксиомам евклидовой геометрии. Из этого вытекают два следующих положения, имеющие особенно большое значение для механики.

 

Следствие. Пространство обладает свойствами:

1) однородности (все точки его равноправны);

2) изотропности (все направления в нем равноправны). Эти хорошо известные свойства евклидова пространства находят многообразные применения в механике.

 

Например, если бы мы переместили все тела механической системы в ка- кую-либо другую область пространства, то ход механических процессов остался бы тем же самым. Надо оговорить при этом, что если на течение данных процессов влияют какие-либо внешние факторы, то и они должны быть воспроизведены в новой ситуации.

 

Заметим, впрочем, что с понятием пространства мы – как правило – на- прямую работать не будем: все рассмотрения будут вестись в выбранной системе отсчета. Однако перечисленные только что характерные свойства пространства можно считать также и характерными свойствами системы отсчета. В динамике, правда, мы увидим, что в полной мере эти свойства справедливы только для так называемых инерциальных систем отсчета.

 

Теперь – о времени. В математическом плане это – тоже евклидово пространство, только одномерное. А в качестве его основных свойств мы отметим та- кие:

 

Время в классической механике:

1) абсолютно (имеет одинаковый смысл во всех СО);

2) однородно (все моменты времени равноправны);

3) анизотропно (моменты времени упорядочены).

 

Из этого списка свойств видно, что не только размерностью время отличается от пространства. Например, для всякого конкретного события можно однозначно сказать, когда оно произошло; но говорить о том, что некоторая точка покоится (т.е. в разные моменты времени занимает одно и то же положение), бессмысленно, если не указана определенная система отсчета. Анизотропность же времени означает, что в нем имеется привилегированное направление: от прошлого к будущему. Есть немало механических явлений (на- пример, движение тела в сопротивляющейся среде), протекание которых носит существенно необратимый характер. Таким образом, понятия “до” и “после” по отношению к моментам времени имеют вполне определенный характер. Впрочем, в статике время если и упоминается, то только в связи с определением состояния покоя.

 

Вот о телах мы будем говорить постоянно. Заметим, что в механике рассматриваются не просто тела (которые изучают в геометрии), а материальные тела. Запишем, что понимается под понятием “материальное тело”.

 



Загрузка...
Загрузка...
Яндекс.Метрика
Биология      Физика      Химия      Экономика     География
Микробиология      Теоретическая механика     География Белоруссии    География Украины    География Молдавии
Растительность мира      Электротехника    География Грузии    География Армении    География Азербайджана
География Казахстана    География Узбекистана    География Киргизии    География Туркменистана    Природоведение
География Таджикистана    География Эстонии