Допустим, что некоторая фирма может производить большее или меньшее количество изделий в единицу времени. Соответственно этому различными будут и затраты фирмы в единицу времени. затраты приведены в 4-м столбце таблицы: здесь каждое число получено вычитанием из соответствующей величины общих затрат предыдущего значения этой же величины.
Иногда предельные затраты определяют как «затраты, связанные с изготовлением последнего изделия».
Такое определение не следует понимать слишком буквально. Если, например, изготовление 4 изделий в месяц связано с затратами в 60 тыс. р., а 5 изделий — 80 тыс. р., то это не значит, что дополнительные затраты в 20 тыс. р. связаны с каким-то конкретным (5-м) экземпляром изделия. Все эти изделия могут изготавливаться одновременно. «Затраты на 5-е изделие» означают, что при переходе от выпуска 4-х к выпуску 5-ти изделий в месяц затраты возрастут на 20 тыс. р. в месяц.
Вопросы, подобные рассмотренным на примере таблицы, возникают и при анализе затрат какого-либо конкретного ресурса (труда, металла, электроэнергии т. п.) в зависимости от объема производства, и при анализе выручки от продажи того или иного количества товара, и во многих других экономических задачах. Поэтому в дальнейшем изложении мы будем говорить о суммарных, средних и относительных величинах безотносительно к их конкретному экономическому содержанию.
Пусть функция y = f(x) описывает зависимость суммарной величины у (затрат, дохода, прибыли и т. п.) от величины x, характеризующей объем производства, продаж, потребления и т. д. В большинстве случаев (в отличие от рассмотренного выше примера) величина x не является целочисленной: либо она бесконечно делима и измеряется в тоннах, литрах, киловатт-часах и тому подобных единицах; либо измеряется в штуках, но настолько велика, что изменение на одну штуку совершенно неощутимо (например, часы или радиоприемники). Поэтому мы будем считать ее величиной непрерывной и ограничим лишь условием x > 0,
Среднюю величину определим как частное
f(x) = f (x) / x. (1)
Изменение аргумента на величину Дх, т. е. переход от объема x к объему x + Дх, вызывает изменение суммарной величины от /(х) до f(x + Dx ), т. е. ее прирост равен Df = f (x + Ax) - f (x).
Отношение Df / Ax характеризует изменение суммарной величины на единицу приращения величины х. Но так как мы считаем величину х непрерывно изменяющейся, никакой «минимальной порции» приращения не существует, и предельная величина. . 1. иллюстрирует геометрические свойства введенных величин. Возьмем на графике функции суммарной величины произвольную точку М. Ее координаты х и y = f(x). Проведем отрезок из начала координат в точку М (он называется радиусом-вектором точки M). На унке видно, что угловой коэффициент радиуса-вектора представляет среднюю величину f(x). Предельной величине соответствует угловой коэффициент касательной к графику в точке М.
Из таблицы видно, что с изменением объема х и средняя, и предельная величины изменяются, причем характер изменения этих величин различен. В дальнейшем среднюю величину f (x ) и предельную — величину f '(x) будем рассматривать как функции объема х.
Непосредственно из определений (1) и (2) можно вывести основные свойства этих функций:
если g(x) = f1(x) + f2(x), то g (x) = h(x) + f (x) и g '(x) = f1(x) + f2(x) ;
если g(x) = af), то g(x) = af (x) и g '(x) = af '(x).
Если f(x) = ax, то f(x) = a и f '(x) = a, т. е. в случае, когда суммарная величина пропорциональна аргументу, средняя величина совпадает с предельной при всех значениях х. Графиком такой зависимости служит прямая, проходящая через начало координат. Радиус-вектор любой точки на этой прямой целиком лежит на ней; касательная к прямой — сама эта прямая, так что в рассматриваемом случае оба угловых коэффициента совпадают.