В лекциях 18 и 38 мы пользовались понятием сегодняшней ценности потока ожидаемых в будущем доходов. Поток доходов представлялся последовательностью уровней Vt, t = 1, 2, K , T, где t — номер периода; Vt — доход, получаемый в течение t-го периода.
Величина сегодняшней ценности описывалась выражением
(1)
T
Здесь r — процентная ставка за один период.
При этом по существу использовалось предположение о том, что в каждом из периодов доход поступает одномоментно. Процентная ставка r соответствует промежутку времени продолжительностью в один период. Если считать, что «сегодня», т. е. момент, к которому приводятся будущие доходы, — это конец нулевого и начало первого периода, то момент поступления дохода V1 — это конец первого периода, V2 — конец второго и т. д. Таким образом, равенство (1) предполагает, что доход каждого периода поступает одномоментно в конце периода.
На практике выражения вида (1) для сегодняшней ценности применяются и в случаях, когда доход поступает более часто; при этом под Vt понимается весь доход, ожидаемый в течение t-го периода. Так как доход поступает частями в различные моменты периода, формула (1) при таком применении оказывается приближенной. Если процентная ставка за период невысока, то и погрешности будут невелики, но при больших значениях процентной ставки погрешностями уже нельзя пренебречь.
Другим приближением к действительности служит представление будущих доходов в виде непрерывного потока. При этом основной характеристикой потока является его интенсивность — доход в единицу времени. Если V(t, t + Dt) — доход в течение промежутка времени ( t, t + Dt ), то средняя интенсивность потока на этом промежутке равна V(t, t + Dt)IDt. Мгновенное значение интенсивности потока в момент времени t можно определить как предел средней интенсивности для интервала, продолжительность которого стремится к нулю. Если воспользоваться механической аналогией, то доход за некоторый промежуток времени можно уподобить пути, проходимому за этот промежуток движущимся телом; в таком случае интенсивность потока доходов в некоторый момент времени подобна скорости в этот момент. Как и скорость, интенсивность потока может непрерывно изменяться от одного момента времени к другому. Если интенсивность потока как функция времени известна, то величина дохода в течение произвольного промежутка времени (t1, t2) выражается интегралом.
Рассмотрим теперь короткий промежуток времени ( t, t + At). Доход за этот промежуток времени приблизительно равен v(t)At ; считаем, что разновременностью поступления дохода в течение короткого промежутка времени можно пренебречь. В этом случае сегодняшняя ценность этого дохода равна приблизительно v (t)At • (1 + r)-t, где r — процентная ставка, соответствующая единице времени (как показано в лекции 18, для того чтобы эта формула была справедливой, t не обязательно должно быть целым числом). Разбивая весь период поступления доходов [0, T] на большое число N равных интервалов ( At = T/N ), получим приближенное выражение для сегодняшней ценности. Для чего нужно дисконтирование в непрерывном времени?
Во-первых, во многих теоретических моделях выделение тех или иных периодов (год, месяц и т. д.) носило бы искусственный характер и никакому из них нельзя было бы отдать предпочтение. Непрерывное представление потоков и соответствующая форма дисконтирования более естественны для таких моделей.
Во-вторых, и во многих практических случаях непрерывное представление потоков сочетает достаточно высокую точность со значительным практическим удобством.
Допустим, ваша фирма предполагает выпускать некоторый продукт в течение года и за этот период получить выручку 100 млн р.; продаваться продукт должен более или менее равномерно в течение года. Годовая процентная ставка составляет 50 %.
Можно рассмотреть дискретный поток с расчетным периодом, равным году. В этом случае поток будет представлен одним уровнем V1 = 100, и соответствующее приближение для сегодняшней ценности будет равно. Как было замечено выше, фактически это сегодняшняя ценность дохода в 100 млн р., поступающего в конце года, что не соответствует предполагаемой динамике выручки. Более точный результат мы получим, если в качестве периода будет выбран квартал и поток будет представлен четырьмя одинаковыми уровнями — по 25 млн р. каждый. По годовой процентной ставке гг = 0.5 рассчитаем процентную ставку гкв для периода, равного кварталу. Так как продажи совершаются ежедневно, можно, конечно, разбить год на периоды, каждый из которых равен одному дню. Но такой громоздкий расчет едва ли оправдан, и не только из-за громоздкости. Едва ли дневная выручка будет строго одинаковой во все дни года. Исходное предположение сводилось к тому, что продажи распределены в течение года более или менее равномерно, ничего более определенного сказать нельзя. Поэтому проще всего не разбивать год на периоды, а считать интенсивность потока выручки примерно постоянной и равной 100 млн р./год. Переход от годичного периода к квартальному изменял временные характеристики потока: в первом случае рассчитывалась сегодняшняя ценность суммы, однократно получаемой в конце года, во втором — четырехкратного поступления выручки в конце каждого квартала. Переход от одной единицы времени к другой в непрерывной модели оставляет свойства потока неизменными: в обоих случаях годовая сумма распределена на интервале продолжительностью в год с постоянной интенсивностью.