В этом пункте мы рассмотрим связь между эластичностями производственной функции и функции затрат. Из выполненного анализа будет, в частности, следовать, что оба приведенных выше определения отдачи от масштаба эквивалентны, что позволит нам в дальнейшем говорить об отдаче от масштаба, не уточняя, в каком смысле мы употребляем этот термин.
Рассмотрим вначале случай, когда производство потребляет единственный ресурс в количестве x, так что производственная функция зависит от одного аргумента: q = f(x). Считая цену ресурса постоянной, можно для потребляемого количества ресурса использовать не натуральное, а денежное выражение; в таком случае производственную функцию можно представить в виде q = f * (px) = f * (C), где p — цена ресурса; C — затраты.
Функция затрат C = TC (q) является обратной по отношению к f *, и в силу известного свойства эластичности Eq [TC] = 1/E [f * ]. Так как функция f * отличается от f лишь постоянным множителем p при аргументе, справедливо равенство
E [TC] = Ef
Так как x — единственный потребляемый ресурс, эластичность Ex [f ] — это полная эластичность производственной функции, которую мы обозначаем буквой Е Обозначение единственного аргумента функции можно опустить, так что для случая единственного ресурса мы получили утверждение:
E[TC] = Е
Теперь предстоит доказать, что это равенство справедливо и в случае произвольного числа ресурсов. ТЕОРЕМА. Пусть при фиксированных ценах ресурсов вектор x = (x x2, K , xn) описывает экономически эффективным вариант производства, q — объем продукта по этому варианту. Тогда
E[TC] = I, (4)
где E[TC] и E — значения эластичностей в точках q и X соответственно.
Следствием рассмотренной теоремы является эквивалентность двух ранее введенных определений отдачи от масштаба. Критериальные соотношения (1) для ПФ-отдачи и (2) для ФЗ-отдачи равносильны.
Значения функции TC(q) — затраты, соответствующие экономически эффективному варианту производства, обеспечивающему объем продукта q. Все варианты, экономически эффективные при заданных ценах ресурсов, в пространстве ресурсов представлены точками линии роста фирмы — изоклины производственной функции, соответствующей данному соотношению цен. Если кривая AC имеет U-образную форму, то, как следует из полученных результатов, на ближнем (от начала координат) участке изоклины имеет место неравенство E > 1, а на дальнем — неравенство E < 1. Если допустить, что при любой комбинации цен ресурсов кривая AC имеет U-образную форму, то все пространство ресурсов разбивается на две области, разделенные общей границей (на плоскости — кривой), на которой выполняется равенство E[f ] = 1. Назовем эту границу производственной функции (от лат. unus — один и слова «эластичность»). На графике она обозначена буквой U. При сделанном допущении пересекается со все ми изоклинами. Эффективный масштаб фирмы определяется точкой пересечения линии роста, отвечающей данному соотношению цен ресурсов,