В этом и следующем пунктах мы ограничимся рассмотрением выбора, производимого не склонным к ку индивидом. Он решает приобрести актив определенного вида (например, некоторое количество определенных ценных бумаг).
Актив приобретается по цене c за единицу, а обладание единицей актива дает его владельцу право на выигрыш G*, который мы будем считать случайной величиной. Чистый выигрыш при этом составляет G = G* - c на единицу. Покупая x единиц, индивид платит cx и получает право на выигрыш G*x, так что чистый выигрыш составит Gx. Выясним, сколько единиц актива он купит.
Прежде всего заметим, что он захочет купить ценные бумаги только в том случае, если математическое ожидание чистого выигрыша положительно. Если бы оно было отрицательно или равно нулю, безковый эквивалент (для кофоба он меньше математического ожидания) был бы заведомо отрицательным, и приобретение актива в любом положительном количестве вело бы к потере полезности. С другой стороны, если чистый выигрыш при любом исходе принимает неотрицательные значения, то полезность заведомо тем больше, чем большее количество актива приобретет индивид, и он захочет вложить в его покупку все свое богатство.
Итак, будем считать, что M[G] > 0, и, следовательно, при любом положительном x выполняется соотношение M[Gx] = xM[G] > 0. Кроме того, примем, что среди возможных значений чистого выигрыша gi имеются отрицательные. При малом x кривизна функции полезности, как отмечалось выше, сказывается слабо, и безковый эквивалент также положителен, так что покупка бумаг повысит полезность индивида. С увеличением x эффект кофобии будет сказываться все заметнее, и при достаточно больших значениях x безковый эквивалент выигрыша за счет влияния отрицательных выигрышей начнет убывать, а следовательно, начнет убывать и полезность. Иными словами, можно полагать, что при некотором значении x не склонный к ку индивид получит максимальную полезность. Именно это количество бумаг он и захочет приобрести. Приведенные соображения носят предположительный характер, однако можно доказать, что при не слишком ограничительных условиях задача определения спроса кофоба на ковый актив
M[u(w0 + Gx)] ® max
имеет ненулевое решение.
Рассмотрим пример. Индивид с функцией полезности u(w) = 4w и начальным уровнем богатства 10 ед. приобретает актив по цене c = 1. В случае неудачи актив не принесет никакого дохода, а в случае удачи выигрыш составит 2 ед. на каждую единицу актива. Вероятности неудачи и удачи равны соответственно 1/3 и 2/3. С учетом платы за актив чистые выигрыши при неудаче и удаче равны -1 и 1 на единицу актива. Математическое ожидание выигрыша, как видим, положительно: 1/3-(-1) + 2/3-1 = 1/3 > 0. Задача определения спроса принимает следующий конкретный вид:
M [u(w0 + Gx)] = -3 • (10 - x)1/2 + 2 • (10 + x)1/2 max.
Приравняем нулю производную от ожидаемой полезности:
dX M [u(w0 + Gx)] = - 1 • (10 - x)-1/2 + 2 • (10 + x)-1/2 = 0 .
Так как максимизируемая функция — вогнутая, выполнение этого равенства есть достаточное условие максимума. Из последнего равенства находим x = 6.
Если вероятность благоприятного исхода выше, то актив привлекательнее для индивида. Если, например, вероятности неудачи и удачи положить равными соответственно 1/4 и 3/4, то при сохранении остальных условий предыдущего примера найдем, что теперь объем спроса на актив x = 8.
Загрузка...