Мы считаем функцию полезности богатства индивида возрастающей, причем для кофоба она вогнута. Иными словами, предельная полезность u ' (w) для него положительна и убывает с ростом богатства. Естественно считать, что скорость убывания предельной полезности может служить характеристикой степени неприятия ка.
Считая функцию полезности дважды дифференцируемой, скорость убывания предельной полезности можно определить как взятую с обратным знаком вторую производную функции полезности: - u" (w). На этой основе строятся показатели неприятия ка — меры Эрроу—Пратта. Как отмечалось, функции полезности, связанные друг с другом возрастающей линейной зависимостью v(w) = a + bu(w), b > 0, описывают одну и ту же систему предпочтений субъекта. Так как v' (w) = bu' (w) и v"(w) = bu"(w), абсолютные меры Эрроу—Пратта для функций u(w) и v(w) совпадают; это позволяет утверждать, что мера Эрроу-Пратта выражает свойства предпочтений индивида, а не представляющей их функции полезности. То же относится и к относительной мере Эрроу—Пратта:
u''(w)
APr(W) = wapa(w) = - wuw.
Эти наименования — «абсолютная» и «относительная» — на первый взгляд могут вызвать недоумение. Их целесообразность проясняется при анализе размерностей. Если мы измеряем полезность в ютилах, а богатство — в рублях, то первая производная полезности имеет размерность ютил/руб., вторая производная — ютил/руб.2, так что величина APA имеет размерность 1/руб. Если мы перейдем от измерения богатства в рублях к измерению в копейках, то величина APA уменьшится в 100 раз. Величина aAPr — безразмерная.
Если субъект склонен к ку, то обе меры Эрроу—Пратта для него отрицательны, а если нейтрален, то равны нулю.
Меры Эрроу—Пратта являются полезным инструментом анализа поведения индивида в условиях ка. Справедливы следующие теоремы (приводим их без доказательства).3
1. Если APA(w) — возрастающая функция, то с увеличением богатства безновый эквивалент случайного выигрыша убывает, и наоборот.
2. Если APA(w) возрастает, то с увеличением богатства спрос на новый актив убывает (т. е. новый актив — низшее благо), а если APA(w) — убывающая функция, то с увеличением богатства спрос на новый актив возрастает (т. е. новый актив — нормальное благо).
3. Если APA(w) убывает, а APR(w) возрастает, то эластичность спроса на новый актив по богатству меньше единицы (т. е. новый.
актив — необходимое благо), а если APR(w) убывает, то эластичность больше единицы (т. е. новый актив — роскошное благо).
В теории особый интерес представляют такие функции полезности, для которых абсолютная или относительная мера Эрроу— Пратта является константой. Приводимые ниже функции могут быть умножены на любой положительный коэффициент, или к ним может быть прибавлена любая константа без изменения их свойств как характетик предпочтений субъекта. Функция полезности u(w) = 4w, к которой мы много раз обращались, имеет постоянную относительную меру Эрроу—Пратта APR = 0.5. Как и для любой другой функции полезности с постоянной относительной мерой Эрроу—Пратта, для нее абсолютная мера Эрроу—Пратта убывает (APA(w) = a/w). Для индивида с такой функцией полезности безновый эквивалент с ростом богатства возрастает. Именно поэтому купец в рассмотренном примере смог договориться со страховщиком, имеющим ту же самую функцию полезности: «бедный» купец за уклонение от ка готов был заплатить больше, чем требовал «богатый» страховщик за принятие ка на себя.
новый актив для такого индивида представляет собой нормальное благо, причем, как это следует из теоремы 3, эластичность спроса по богатству равна единице, т. е. объем спроса пропорционален величине богатства.
Загрузка...