Рассмотрим кредитора, который располагает богатством w0 и может предоставить заем размером на определенный период (скажем, на один год). Если известно, что заемщик вернет долг наверняка, то он готов дать заем под процентную ставку i. Выясним, на каких условиях он согласен дать деньги взаймы, если заемщик не вполне надежен и с вероятностью p долга не вернет.
В случае абсолютно надежного займа богатство кредитора после возврата денег с процентами составит w0 - l + (1 + i)l = w0 + il. Предоставив ненадежный заем под процент r, он с вероятностью p получит чистый выигрыш -l и с вероятностью (1 - p) — чистый выигрыш rl. Он сочтет сделку выгодной для себя, если ожидаемая полезность такого выигрыша больше полезности безкового варианта. Минимальная ковая процентная ставка, при которой сделка будет для него приемлемой, определяется равенством
u(w0 + il) = p u(w0 - l) + (1 - p) u(w0+ rl). Иными словами, процентный доход по надежному займу должен быть безковым эквивалентом «случайного выигрыша» — дохода по ненадежному займу.
Но для кредитора-кофоба при такой ставке безновый эквивалент окажется меньше 1>1, и чтобы заинтересовать его в сделке, ставка должна быть повышена, и тем значительнее, чем больше его стремление избежать ка. Если его устраивает процентная ставка r, то разность r - r0 представляет собой ковую премию в составе процентной ставки.
Выше, в п. 3, мы уже рассматривали этот вопрос на числовом примере, где заем в 1 тыс. р. предоставлялся под 10 % годовых, а вероятность невозврата долга составляла 0.1. Для нейтрального кредитора мы получили ставку r0 = 22.2%.
Пусть теперь кредитор располагает богатством 5 тыс. р.; его несклонность к ку характеризуется относительной мерой Эрроу—Пратта a = 0.5, которую будем считать постоянной. В этом случае новую процентную ставку найдем из равенства
5.105 = 0.1-405 + 0.9(5 + r)05.
Отсюда r » 0.23, или 23%. ковая премия составляет 23 - 22.2 = = 0.8 %. Заметим, что некоторые авторы в качестве ковой премии рассматривают превышение ковой процентной ставки над безковой (r - i), т. е. в нашем случае 23 - 10 = 13 %. Однако из этой величины 12.2 % не связанны с собственно ком, а только покрывают средние (ожидаемые) потери от невозврата ссуды.
Рассмотрим теперь кредитора, имеющего такое же богатство, но более нетерпимого к ку. Пусть для него a = 1, т. е. u(w) = lnw. ковая процентная ставка определяется равенством
ln 5.1 = 0.1-ln 4+ 0.9-ln(5 + r),
откуда r » 24%, и ковая премия равна 1.8%.
Для кредитора с еще большим неприятием ка, a = 2, т. е. u(w) = = 1 /w, должно выполняться равенство
1 = M + 0.9 5.1 4 5 + r '
так что r » 26.1%, и теперь ковая премия составляет 3.9%. Как видим, чем больше мера Эрроу—Пратта, тем большую премию требует кредитор.
На финансовом рынке действуют агенты и с различным отношением к ку, и с различным уровнем богатства; кроме того, они располагают различной информацией — и о потенциальных партнерах, и о хозяйственной среде, в которой всем им приходится действовать, а потому они по-разному оценивают вероятности тех или иных событий. Помимо этого, они предпринимают различные меры для снижения ка: страхуют сделки, покупают комбинации различных активов, ки которых обусловлены действием независимых или противоположно влияющих факторов и т. д. Цена на финансовом рынке сложится под влиянием всех этих (и многих других) обстоятельств.