Consequence. Arithmetical progression. Geometric progression
Представим, что подряд выписаны все четные (парный - even) натуральные числа:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, ... .
Это - последовательность четных натуральных чисел. Число 2 - ее первый член, 4 - второй, 6 - третий, 20 - десятый и т. д.
Примеры числовых последовательностей:
1, 2, 3, 4, 5, ... - Последовательность натуральных чисел,
1, 3, 5, 7, 9, ... - Последовательность нечетных (нечетный - odd) натуральных чисел.
Последовательности бывают конечные (конечный - finite) и бесконечные (бесконечный - infinite). Конечным, например, является последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Последовательность всех натуральных чисел бесконечно. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие.
Первый, второй, третий члены последовательности четных натуральных чисел равны соответственно 2, 4, 6. Пишут: a1 = 2, a24, a3 = 6. Поскольку каждый член последовательности четных натуральных чисел вдвое больше от своего порядкового номера, то ее n-й член равен 2n, т.е.
an = 2n.
Это формула n-го члена последовательности четных натуральных чисел.
an = 2n-1 формула n-го члена последовательности нечетных натуральных чисел. Если известна формула n-го члена последовательности, то нетрудно вычислить любой ее член. Напишем несколько первых членов последовательности, n-й член которой an = n2 +2. Предоставляя переменной n значение 1, 2, 3, 4, 5, ..., получим первые члены последовательности: 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51, ... .
Тысячный член этой последовательности a1000 = 10002 +2 = 1000002.
Гораздо труднее решать обратную задачу - для данной последовательности найти ее n-й член. Например, формула n-го члена последовательности простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... - Неизвестна до сих пор, хотя математики искали ее более 2000 лет.
Из двух соседних членов ai и ai +1 последовательности член ai +1 называют следующим (следующий - next) по ai, а ai - предварительным (предыдущий - previous) относительно ai +1. Последовательность называют возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего.
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому добавляют одно и то же число: a1, a1 + d, a1 +2 d, a1 +3 d ... .
Число d называется разностью арифметической прогрессии (разность арифметической прогрессии - common difference). Число a1 называется первым членом арифметической прогрессии.
Первый член и разность арифметической прогрессии могут быть какими угодно числами. Арифметическая прогрессия возрастающая, если ее разница положительная или нисходящая, если ее разница отрицательная.
Формула n-го члена арифметической прогрессии an = a1 + (n-1) d.