1. В настоящем приложении доказываются утверждения, сформулированные в разделе 2 лекции 18 и относящиеся к аналитическому выражению функции роста вклада. Одним из основных элементов построения функции роста было рассмотрение условия аддитивности.
Под аддитивной функцией понимают функцию, которая для любых значений аргумента х, у удовлетворяет соотношению
f(x + y) = f(x) + f(y). (1)
Соотношения, связывающие значения неизвестной функции при различных значениях аргумента, называют функциональными уравнениями. Примером функционального уравнения является равенство (1).
Легко проверить, что при любом значении коэффициента k функция f(x) = kx удовлетворяет уравнению (1). Покажем, что любая непрерывная функция, удовлетворяющая этому уравнению, имеет вид kx.
Обозначим f(1) = k. Тогда f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = k + k = 2k; f(3) = f(2 + 1) = 2k + k = 3k и т. д. (индукция!). Таким образом, для любого натурального значения х мы получаем
f(x) = kx.
Теперь возьмем какое-либо натуральное число М и обозначим f(1/M) = m. Повторяя приведенные выше рассуждения, получаем f(2/M) = 2m, f(3/M) = 3m и т. д.; для любого натурального числа N имеем f(N/M) = Nm. В частности, при N = M получаем
f(M/M) = Mm = f(1) = k,
так что m = k/M, и
f(N/M) = k-(N/M).
Итак, мы убедились в том, что для любого рационального значения х аддитивная функция имеет вид f(x) = kx.
Пусть теперь х — какое угодно вещественное число, {xn} — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к х. Так как f(x) предполагается непрерывной, f (x) = lim f(xn ) = lim kxn = k lim xn = kx,
2. Полученный результат может быть использован и при решении некоторых других функциональных уравнений, в частности, того, которое возникло в связи с условием согласованности во времени:
kT + T2) = k(T1)k(T2), (2)
причем неизвестная функция здесь должна принимать положительные значения.
Почленно логарифмируя функциональное уравнение (2)
lnk(T1 + T2) = lnk(T1) + lnk(T2),
мы убеждаемся в том, что функция L(T) = lnk(T) аддитивна:
L(Ti + T2) = L(Ti) + L(T2),
и в силу только что доказанного свойства аддитивных функций L(T) = = bT. Итак, мы видим, что lnk(T) = bT и, следовательно, решением интересующего нас уравнения является
k(T) = eb T.
Этот результат и был использован при построении функции роста.