В настоящем пункте мы несколько раз будем ссылаться на Математическое приложение II, которое для краткости будем обозначать МП II.
Как указывалось в лекции 22, предельный продукт некоторого ресурса характеризует абсолютное изменение выпуска продукта, приходящегося на единицу изменения расхода данного ресурса, причем изменения предполагаются малыми.
Для производственной функции q = =f(x1, ..., xn) предельный продукт i-того ресурса равен частной производной. Влияние относительного изменения расхода i-го фактора на выпуск продукта, представленное также в относительной форме, характеризуется частной эластичностью выпуска по затратам этого продукта.
Для простоты будем обозначать Ц.[f] = ei-Частная эластичность производственной функции равна отношению предельного продукта данного ресурса к его среднему продукту.
Рассмотрим частный случай, когда эластичность производственной функции по некоторому аргументу — постоянная величина. Если по отношению к исходным значениям аргументов x1, x2, ..., xn один из аргументов (i-тый) изменится в l раз, а остальные останутся на прежних уровнях, то изменение выпуска продукта описывается степенной функцией. Единственной функции позволяет дать отдаче от масштаба числовое выражение. Пусть расход всех ресурсов немного увеличился с сохранением всех пропорций (1 > 1). Если Е > 1, то выпуск продукции увеличился больше, чем в 1 раз (возрастающая отдача от масштаба), а если Е < 1, то меньше, чем в 1 раз. При Е = 1 выпуск продукции изменится в той же самой пропорции, что и затраты всех ресурсов (постоянная отдача).
Выделение короткого и длительного периодов при описании характеристик производства — грубая схематизация. Изменение объемов потребления различных ресурсов — энергии, материалов, рабочей силы, станков, зданий и т. д. — требует различного времени. Допустим, что ресурсы перенумерованы в порядке убывания подвижности: быстрее всего можно изменить x1, затем x2 и т. д., а изменение xn требует наибольшего времени. Можно выделить сверхкороткий, или нулевой, период, когда не может измениться ни один фактор; 1-й период, когда изменяется только x1; 2-й период, допускающий изменение x1 и x2 и т. д.; наконец, длительный, или n-й период, в течение которого могут измениться объемы всех ресурсов. Различных периодов, таким образом, оказывается n + 1.
Рассматривая некоторый промежуточный по величине, k-й период, мы можем говорить о соответствующей этому периоду отдаче от масштаба, имея в виду пропорциональное изменение объемов тех ресурсов, которые в этом периоде могут изменяться, т. е. x1, x2, ..., xk. Объемы xk + 1, xn, при этом сохраняют фиксированные значения. Соответствующий этому периоду показатель отдачи от масштаба равен
Удлиняя период, мы добавляем к этой сумме следующие слагаемые, пока не получится значение Е для длительного периода.
Поскольку производственная функция возрастает по каждому аргументу, все частные эластичности е1 положительны. Отсюда следует, что чем продолжительнее период, тем больше отдача от масштаба. Таким образом, общая эластичность однородной функции — постоянная величина. При этом частные эластичности по каждому аргументу могут быть переменными.
Однородные функции обладают многими свойствами, делающими их весьма привлекательными для приближенного описания реальных производственных объектов.
Пропорциональному изменению всех аргументов геометрически соответствует движение вдоль луча, выходящего из начала координат. Возьмем две любые точки, лежащие на одной изокванте, скажем, А и В. Проведем из начала координат лучи через эти точки и отложим на них точки A' и B' так, чтобы каждый из отрезков OA' и OB' был в l раз длиннее соответствующего отрезка ОА или ОВ. Если исходной изокванте соответствовало значение производственной функции q, то и точке A' то и точке B' соответствует одно и то же значение laq, так что точки A' и B' лежат на одной изокванте. Отсюда следует, что любая изокванта однородной производственной функции может быть получена из любой другой с помощью преобразования подобия (гомотетии) с центром в начале координат. постостоянством предельной нормы замены, которая во всех точках этой линии равна отношению цен ресурсов. Таким образом, линия роста — это одна из изоклин производственной функции. При изменении цен ресурсов фирма «перескакивает» с одной изоклины на другую.
Из подобия изоквант однородной функции следует, что в точках одного луча, выходящего из начала координат, все изокванты имеют один и тот же наклон. Таким образом, все изоклины однородной производственной функции (и, в частности, линия оптимального роста) — лучи, выходящие из начала координат.
Однородность производственной функции существенно упрощает анализ отдачи от масштаба. Прежде всего степень однородности характеризует влияние масштаба затрат ресурсов на выпуск продукции при любых изменениях масштаба (а не только при малых, как общая эластичность произвольной функции). Не менее важно и то обстоятельство, что изменение масштаба выпуска продукции в случае однородной производственной функции происходит путем пропорционального изменения расхода ресурсов, поскольку в этом случае такой характер изменения отвечает линии оптимального роста фирмы.