Понятие выпуклости в пространстве благ обсуждалось в Математическом приложении IV. Напомним: отрезком, соединяющим точки x1 и x2, называется множество точек вида:
У - l x1 + l X2, где l1, l2 з 0 , l1 + l2 -1;
множество называется выпуклым, если отрезок, соединяющий любые две точки этого множества, целиком
содержится в нем.
Функция f(x) называется вогнутой, если множество точек, расположенных под ее графиком, выпукло. В аналитической форме это определение сводится к тому, что для любых значений аргумента x1, x2 и любых чисел l1, l2, удовлетворяющих приведенным выше условиям (в дальнейшем всюду будем предполагать, что коэффициенты l1, l2 этим условиям удовлетворяют), справедливо неравенство
f(l1x1 + l2 x2) ? l1f(x1) + l2 f(x2).
В теории часто пользуются допущением о выпуклости МПВ. Рассмотрим вначале смысл этого утверждения, а в следующих пунктах рассмотрим, на каких предположениях оно может основываться.
Выпуклость МПВ означает следующее: если производственная система может произвести наборы продуктов x1 и x2, то она может произвести также набор, представляющий собой «смесь» из наборов x1 и x2, составленную в любой пропорции. Например, если имеющихся ресурсов достаточно для производства каждого из наборов:
x1 - (10, 40, 20), x2 - (30, 10, 30),
то их достаточно также для производства любого из наборов 0.2 x1 + 0.8 x2 - (26, 16, 28), 0.5 x1 + 0.5 x2 - (20, 25, 25), 0.8 x1 + 0.2 x2 - (14, 34, 22) и т.д.
Если МПВ выпукло, то функция трансформации — вогнутая, как это следует из определения. При этом безразлично, о какой именно из возможных функций трансформации идет речь: если мы рассматриваем функцию x. = T.(x ), то «под графиком» будут располагаться точки, для которых x. ? T.(x ).
Справедливо и обратное утверждение: если функция трансформации вогнута, то МПВ выпукло.
Таким образом, г. ? Tz.). Рассмотрим точку z*, отличающуюся от z только той компонентой: z * = = Tj(zj) (. 3). Точка z* по построению лежит на поверхности трансформации, так что z*? P. Так как z ? z*, то в силу допущения о возможной неэффективности z ? P . Итак, любая точка отрезка [x1, x2] принадлежит МПВ, чем и исчерпывается доказательство.
Таким образом, утверждения о выпуклости МПВ и о вогнутости функции трансформации равносильны. Попутно отметим, что если какая-либо из функций трансформации является вогнутой, то вогнуты и все остальные.
Вогнутость функции трансформации означает, что ее частные производные (с учетом знака) — невозрастающие функции своих аргументов. Отсюда следует, что предельные нормы трансформации, MRT, являются неубывающими функциями x..
В дальнейшем мы покажем, что утверждение о выпуклости МПВ следует из некоторых элементарных допущений о возможных характетиках производства.