Начнем с рассмотрения простых моделей. Пусть существует единственный ресурс, ограничивающий производственные возможности рассматриваемого объекта, и пусть R обозначает располагаемое количество этого ресурса. Далее, будем считать, что для производства j-того продукта в количестве xj необходимо использовать дефицитный ресурс в количестве cx.
Множитель с. будем называть нормой расхода ресурса на продукт. Если производится n продуктов, то потребное для их производства количество ресурса определяется суммой и МПВ определяется неравенством r ? R, или (а также, разумеется, условием неотрицательности всех x., которое в дальнейшем всюду будет подразумеваться).
Мы по существу задали здесь функцию r - C(x), определяющую количество ресурса, необходимое для производства набора продуктов x. Введенная здесь функция линейна: для любых x1 и x2 и любых чисел a1 и a2 имеет место равенство C(a1x1+a2x2) - a1C(x1)+a2C(x2), в чем можно убедиться непосредственно. Если наборы продуктов x1 и x2 достижимы, т. е. r1 - C(x1) ? R и r2 - C(x2) ? R, то достижим и любой промежуточный набор, z - l1x1+l2x2: его компоненты неотрицательны, а потребное для его производства количество ресурсов удовлетворяет условию r ? R. A это означает, что для рассматриваемой модели МПВ выпукло.
Изображено МПВ для двух продуктов, нормы расхода ресурса для которых c1 - 5 и c2 - 4, а располагаемое количество ресурса R - 1800. МПВ представляет собой треугольник с вершинами (0, 0), (360, 0) и (0, 450). Треугольник, очевидно, выпуклая фигура.
Заметим, что мы, не оговорив этого, использовали допущение о том, что продукты взаимно независимы в производстве: количество ресурса, потребное для производства .-того продукта в количестве x., не зависит от того, какие еще продукты производятся и в каких количествах. Вернемся к примеру, изображенному на . 4,а, и допустим, что наряду с раздельными технологиями производства каждого из продуктов существует также технология их совместного производства. При этом на совместное производство одной единицы 1-го и одной единицы 2-го продукта требуется не 5 + 4 = 9, а лишь 6 ед. ресурса (экономия от разнообразия). Скажем, производятся столовые ложки и чайные ложечки, а лимитирующий ресурс — листовой материал, из которого выштамповываются заготовки. Если заготовки чайных ложечек размещаются между заготовками столовых ложек, то отходов значительно меньше, чем при штамповке заготовок каждого вида в отдельности, так что сокращается количество потребляемого материала. Теперь достижимым является набор (300, 300), который был недостижим при раздельных технологиях (точка С на . 4,6). МПВ в этом случае имеет вид выпуклого четырехугольника,
Итак, взаимозависимость продуктов в производстве, проявляющаяся в экономии от разнообразия, не нарушает выпуклости МПВ.
Допустим теперь, что совместное производство требует большего количества ресурса, чем при раздельном производстве (потери от разнообразия). Скажем, в условиях рассматриваемого примера совместное производство 1 ед. 1-го продукта и 1 ед. 2-го продукта требует не 9, а 12 ед. ресурса. Допустим, что весь ресурс направлен на совместное производство. В этом случае выпуск будет характеризоваться вектором (150, 150) (точка C на . 4,в). Направив 1000 ед. ресурса на производство первого продукта и 800 — на производство второго, мы получили бы выпуск (200, 200) (точка D), так что совместное производство неэффективно, и существование такой технологии не изменяет конфигурации МПВ. Иными словами, существование совместного производства, характеризующегося потерями от разнообразия, также не нарушает выпуклости МПВ.
Загрузка...