В лекции при обсуждении свойств производственной функции фирмы говорилось о такой закономерности производства, как убывание предельного продукта каждого ресурса. Рассмотрим производство с одним продуктом и одним ресурсом, описываемое производственной функцией x = f(r).
Функция затрат ресурса r = c(x) — обратная по отношению к производственной функции, и если предельный продукт f ' (r) убывает, то предельные затраты ресурса c (x) возрастают, так что c(x) — выпуклая функция.
Подобная закономерность имеет место не только для фирмы, но и для общественного производства. Например, при добыче нефти в небольших количествах можно ограничиться легкодоступными месторождениями, так что дополнительная тонна нефти потребует сравнительно небольшого дополнительного количества ресурсов. Большой объем добычи заставляет забираться в Заполярье, бурить скважины в морском дне и т. д., что существенно увеличивает дополнительные затраты на каждую дополнительную тонну.
Если все c.(x) — выпуклые функции, то и C(x) — также выпуклая функция (как сумма выпуклых функций). МПВ определяется неравенством C(x) ? R. Если наборы продуктов x1 и x2 удовлетворяют этому неравенству, то в силу выпуклости функции C(x) имеет место соотношение
C(l1x1 + l2x2) ? l1C(x1) + l2C(x2) ? l1R + l2R = R,
так что l1x1 + l2x2 ? P, т.е. МПВ выпукло.
Рассмотрим пример. Пусть производятся 2 продукта и производственные функции для обоих продуктов одинаковы: x _ =Vr и x2 Соответственно функции затрат равны c1(x1) = x12, c2(x2) = x22. Допустим, что располагаемое количество ресурса R = 100. Ресурсное ограничение принимает вид C(x) = x12 + x22 ? 100, так что МПВ изображается четвертью круга радиуса 10 с центром в начале координат (. 7,а). Если при постоянной продуктивности ресурсов функция трансформации была линейной, то в рассматриваемом здесь случае она оказывается строго вогнутой, и при движении вдоль ГПВ слева направо предельная норма трансформации монотонно возрастает.
Поведение предельной нормы трансформации проще всего проанализировать, воспользовавшись полным дифференциалом функции затрат ресурса; на поверхности трансформации объем затрат ресурса равен располагаемому, так что любому перемещению по этой поверхности соответствует нулевое значение дифференциала.
где MP., MPk — предельные продукты рассматриваемого ресурса в производстве i-того и k-того продуктов соответственно. При движении слева направо x. возрастает,
а xk убывает; MPi и MPk ведут себя противоположным образом. Следовательно, при таком движении происходит монотонное возрастание MRT.k.
Итак, если ограничивающим является единственный ресурс, то МПВ выпукло. Если ограничивающими являются несколько различных ресурсов, то, как и в предыдущем пункте, достижимый вектор удовлетворяет одновременно всем ограничениям вида Ck(x) ? Rk, т. е. принадлежит пересечению множеств, определяемых ограничивающими ресурсами. Каждое из этих множеств выпукло, так что выпукло и МПВ. . 7,6 иллюстрирует случай с двумя продуктами и двумя ресурсами. Ограничения МПВ описываются неравенствами
x12 + 4x22 ? 100,
4x12 + x22 ? 100.
Упражнение 7. Каков в данном случае характер изменения предельной нормы трансформации при движении вдоль ГПВ?