Выше рассматривались производственные системы, выпускающие только конечные продукты (т. е. продукты, не потребляемые в процессе производства в данной системе) и потребляющие только внешние ресурсы (не производимые в данной системе).
Если для многих (но не для всех) фирм такое представление производства можно считать удовлетворительным, то для таких систем, как национальное или региональное хозяйство, необходимо учесть, что внутри этих систем производится значительное количество промежуточных продуктов, потребляемых этими системами в процессе производства. При этом технология не является однонаправленной: в производстве 1-го продукта может использоваться 2-й и в то же время в производстве 2-го может использоваться 1-й продукт.
Так, для производства электроэнергии используется нефть, а для добычи нефти — электроэнергия; для выплавки металла требуется уголь, а для добычи угля нужны машины и инструменты, изготовленные из металла. Кроме того, продукт может требоваться для собственного производства: чтобы вырастить зерно, требуются семена. Таким образом, технологические связи в рассматриваемой системе могут быть весьма сложными. К сказанному следует добавить, что некоторые продукты частично могут потребляться системой в процессе производства, частично — за ее пределами, т. е. такие продукты могут быть и промежуточными, и в то же время конечными продуктами системы.
Рассмотрим вначале систему, производящую единственный продукт и потребляющую единственный внешний ресурс. Например, производится пшеница, а в качестве ресурсов используются пшеница (семена) и земля. Пусть для производства единицы продукции требуется а единиц пшеницы и c единиц земли; для определенности положим а = 0.5 и c = 4. Для производства единицы конечной продукции нужно прежде всего вырастить 1 ед. пшеницы. Но для ее производства нужно потратить (и, следовательно, произвести) 0.5 ед. В свою очередь для производства этих 0.5 ед. необходимо произвести еще 0.5:0.5 = 0.25, а для их производства требуется еще 0.5:0.25 = 0.125 ед. и т. д. Таким образом, для производства 1 ед. конечной продукции требуется вырастить всего
1 + 0.5 + 0.52 + 0.53 + ... = 2 ед.
Если мы рассматриваем статический режим функционирования системы, то мы должны считать, что все циклы производства (0.5, 0.52, 0.53 ... ед.) совершаются одновременно: выращиваются 2 ед. пшеницы, из которых 1 ед. представляет собой конечную продукцию и 1 ед. остается на семена (чтобы в будущем произвести 2 ед. продукции и тем самым продолжить процесс производства).
Количество земли, необходимое для производства 2 ед. пшеницы (т. е. для 1 ед. конечной продукции), равно 2:4 = 8 ед. Для производства x единиц конечной продукции требуется r = 8x единиц земли. Если в распоряжении производственной системы имеется R = 200 ед. земли, то ее производственные возможности определяются неравенством 8x ? ? 200, т. е. МПВ системы представляет собой отрезок 0 ? x ? 25.
Заметим, что если для производства единицы конечного продукта требуется затратить a единиц этого же продукта, то общее количество произведенного продукта y (валовой продукт) и количество конечного продукта x связаны балансовым соотношением
y = ay + x,
правая часть которого показывает использование произведенного объема: ay единиц используются для производства y единиц, а x представляет собой объем конечного продукта. Решая это уравнение, находим y = = x/(1 - a), что согласуется с приведенными выше рассуждениями, так как
1 + a + a2 + a3 + ... .
Ряд в правой части сходится при a < 1, иначе система в процессе производства потребляла бы больше продукта, чем она его производит, и выпуск конечного продукта был бы невозможен. Возможность производства конечного продукта получила название продуктивности системы. Для однопродуктовой системы выполнение неравенства a < 1 является необходимым и достаточным условием ее продуктивности.
Перейдем теперь к рассмотрению многопродуктовой производственной системы. Общие методы анализа таких систем со сложными производственными связями были разработаны В. Леонтьевым в рамках модели межотраслевого баланса (в русскоязычной литературе называемого также анализом «затраты—выпуск» — перевод английского термина «input-output analysis»).
Модели межотраслевого баланса получили значительное распространение и в теоретическом анализе, и в практических расчетах. В теории рассматриваются «чистые отрасли», каждая из которых ассоциируется с производством идеально однородного продукта, и число таких отраслей неопределенно велико. В практических приложениях возможности разделения общественного производства на отрасли ограничиваются трудностями получения статистической информации, и поэтому в расчетах оперируют «агрегированными отраслями», производящими такие продукты, как продукция растениеводства, приборостроения, транспортные услуги и т. д.
Мы рассмотрим те элементы модели межотраслевого баланса, которые существенны для рассматриваемого здесь вопроса — выпуклости МПВ.
В основе рассматриваемой ниже модели лежат следующие допущения:
1) каждый продукт может быть как конечным, так и промежуточным, при этом он может использоваться при производстве любого продукта;
2) производство каждого продукта характеризуется жесткой дополняемостью используемых ресурсов;
3) расход каждого ресурса на производство данного продукта пропорционален количеству производимого продукта.
Читатель, знакомый с матричной алгеброй, может рассмотреть более простое рассуждение. Если x и y рассматривать как векторы-столбцы, то равенству (1) можно придать вид
y = Ay + x, (3)
где A = (a,j)nxn — так называемая матрица прямых затрат продуктов. На производство конечного продукта x непосредственно нужно затратить продукты в количестве Ax, а на производство этих продуктов затратить A>Ax = A2x (2-й цикл) и т. д.; во всех циклах для выпуска конечного продукта x нужно произвести валовой продукт в количестве
y = x + Ax + A2x + A3x + ... = (I + A + A2 + A3 + ...)x,
где I — единичная матрица. Если стоящая в скобках матричная геометрическая прогрессия сходится, то ее сумма равна
B = I + A + A2 + A3 + ... = (I - A)-1.
Сходимость этой геометрической прогрессии, как и в однопродуктовом случае, означает продуктивность системы. Вектор валового продукта продуктивной системы связан с вектором конечного продукта соотношением
y = Bx = (I - A)-1 x. (4)
Матрица B получила название матрицы полных затрат продуктов. Равенство (4) может быть формально выведено непосредственно из балансового соотношения
(3): y - Ay = x, или (I - A)y = x; умножая обе части слева на матрицу (I - A)-1, получим y = (I - A)-1 x. Однако это равенство имеет смысл только для продуктивных систем. С матрицей B связан сравнительно простой критерий продуктивности: система продуктивна в том и только в том случае, если все элементы матрицы B неотрицательны.
Вектор-столбец r затрат внешних ресурсов связан с валовым продуктом соотношением r = Cy, где C = (Ckj )mx n — матрица прямых затрат ресурсов. Равенство
(4) позволяет непосредственно связать потребное количество внешних ресурсов с конечным продуктом: r = CBx, или r = Dx, где матрица D = CB связывает затраты внешних ресурсов с конечным продуктом. Используя обозначение R для вектора располагаемых ресурсов, приходим к явному описанию множества производственных возможностей:
Dx ? R.
Такая система неравенств по существу совпадает с описанием, использованным в п. 3 для линейной модели без промежуточных продуктов.
Здесь была рассмотрена линейная модель межотраслевого баланса. Существуют варианты модели, допускающие наличие нелинейных зависимостей. Если потребности в ресурсах (и внешних, и промежуточных) связаны с объемами выпуска продуктов (и конечных, и промежуточных) выпуклыми зависимостями, т. е. все процессы производства в системе характеризуются невозрастающими предельными продуктами ресурсов, то можно показать, что в этом случае также МПВ оказывается выпуклым.
Рассмотренные нами модели позволяют прийти к заключению, что предположение о выпуклости множества производственных возможностей хорошо согласуется с основными постулатами экономической теории. Разумеется, было бы ошибкой считать, что выпуклость МПВ имеет место абсолютно во всех моделях производственных систем. В частности, выпуклость требует неограниченной делимости всех продуктов. Если хотя бы один из них не отвечает этому требованию, МПВ уже не может быть выпуклым. Но этим и другими подобными обстоятельствами, требующими учета при решении конкретных хозяйственных задач, можно пренебречь на уровне теоретического анализа, тем более тогда, когда объектом анализа является экономика в целом.