Понятие вероятности события возникло как интуитивное понятие, которое дает количественную оценку возможности появления события A и обозначается Р (А).
Классическое и статистическое определение вероятности.
Рассмотрим пространство (множество) элементарных событий А1, А2, ... Аn при выполнении комплекса условий S.
, (1)
где m? количество элементарных событий, благоприятных А,
n? количество вcix возможных элементарных событий.
По классическому определению вероятность появления события ищут не проводя никаких опытов, исходя из теоретических соображений. На практике часто приходится иметь дело с статистической вероятностью. Ее часто называют относительной частотой появления события и обозначают
где m? количество испытаний, в которых событие А появилось,
n? общее количество испытаний.
В опытах статистическая вероятность колеблется в окрестности некоторого постоянного числа, изменяясь мало, причем тем меньше, чем больше проведено опытов. Эта постоянная получила название классической вероятности. Для существования статистической вероятности необходимо:
1) иметь возможность провести необходимое количество испытаний, в каждом из которых событие А наступит или нет;
2) наличие устойчивости относительных частот появления события А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.
Статистическая вероятность (the statistical probability) обладает свойствами:
1) Р (А) 0 это очевидно, поскольку m0;
2) для возможной события;
3) если события А и В несовместны, то статистическая вероятность события С = А + В равна сумме статистических вероятностей Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Легко видеть, что формуле (1) можно использовать только в случае конечных mi n. Если m и n бесконечны, то классическая вероятность вводится аксиоматически. Классической вероятностью Р (А) события А, которая определяется пространством элементарных событий, называется числовая функция, удовлетворяющая следующим условиям:
1) Р (А);
2);
3) для несовместных событий А и В: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Условия 1) - 3) получили название аксиом теории вероятностей. Аксиоматическое определение классической вероятности удобное в теории, однако оно не дает способа ее вычисления. Такой способ дает определение классической вероятности как предела статистической. Если проводятся серии однотипных опытов, в каждой из которых вычислены статистические вероятности, то получим последовательность {Р1 * (А), Р2 * (А), ... Рn * (А)}, граница которой и определяет классическую вероятность при.
Введение классического определения вероятности произошло не в результате однократного действия, а заняло определенное время, как и формирование самой теории вероятностей. Есть происходило непрерывное совершенствование формирования, переход от конкретных задач к общему случаю.
Первые работы, которые были посвящены теории вероятности как науке, были написаны Х. Гюйгенсом (1657) «О расчетах в азартных играх». Однако в своей работе автор не дает четкой формулировки для классического определения вероятности. Это понятие было введено, хотя и в несовершенной форме, Я. Бернулли (1713) в трактате «Искусство предположений»: «Вероятность - степень достоверности и отличается от нее, как часть от целого». Как видим, такая формулировка является достаточно обобщенным. Однако в пятой главе четвертой части своей работы Я. Бернулли описывает классическую вероятность как отношение числа «счастливых» случаев к количеству всех возможных. Якобом Бернулли было предложено и другое определение вероятности как отношение количества «счастливых» случаев к количеству «несчастных». Однако в науке это определение не было принято по двум причинам: 1) неаддитивности отношений (первого и второго определений) 2) изменение отношения в последнем определении от 0 до ∞.
Якоб Бернулли (27.12.1654 - 16.08.1705)
Швейцарский математик. Брат Иоганна Бернулли. Научный руководитель - Лейбниц. Якоб сделал значительный вклад в теорию рядов, дифференциальное исчисление, теорию вероятностей и теорию чисел, его именем названы числа с некоторыми определенными коэффициентами. В алгебре он завершил теорию комбинаций и перестановок, в элементарной геометрии решил так называемую задачу Мальфатти для случая равнобедренного треугольника, в дифференциальной геометрии разрешил вопрос о геодезических кривые на поверхности вращения и многие другие вопросы.
Я. Бернулли свои работы обосновывал работами Граунта и Пэтти. В трактате Я. Бернулли присутствуют обе концепции теории вероятности - статистическая и классическая. Обе они изложены недостаточно четко, однако принципиально новый шаг в науке было сделано - введено в рассмотрение понятия вероятности случайной величины как числа, находится в пределах от 0 до 1. Вероятной события при этом приписывалась 1 (максимальное значение вероятности), а невозможной - 0 (минимальное значение). Кроме того, было ясно сказано, что это число может быть определено двумя способами: путем подсчета количества всех равновозможных случаев, благоприятствующих событию, и всех возможных случаев и вычисление их отношения, а также путем проведения большого количества (классический способ) независимых испытаний и вычисление частоты события (статистический способ).
Я. Бернулли обдумывал свое «Искусство предположений» долгие годы, по его словам около 20. Однако в мир он вышел только через 8 лет после смерти автора в 1713 году. Содержание этих публикаций уже был известен широкому кругу ученых в виде рукописей. Таким образом, этот трактат влиял на дальнейшее развитие теории вероятности еще до публикации, что видно из трудов П. Монмора, А. Муавра.
Муавр Абрахам де (1667 - 1754) - английский математик.
Научное наследие Муавра очень велика, ведь ученый был чрезвычайно работящим человеком. Он работал в области теории рядов, теории вероятностей, комплексных чисел. В теории вероятностей доказал одну важную теорему, которая названа его именем и которую можно найти во всех учебниках по этой теории. В теории комплексных чисел вывел правила возведения в степень и извлечение корня n-й степени из комплексных чисел. Эти формулы широко применяются в тригонометрии и алгебре при решении двучленных уравнений и известные теперь как «формулы Муавра».
Именно определение, которое дал Я. Бернулли, стало первой ступенькой в развитии теории вероятности как науки. А. Муавр воспринял это классическое определение вероятности, которое дал Я. Бернулли, и вероятность события определил точно так же, как это делаем мы. Он писал: «Мы строим дробь, числителем которого будет количество случаев появления события, а знаменателем - число всех случаев, при которых она может появиться или не явиться, такой дробь будет определять действительную вероятность ее появления».
Из определения вероятности следует, что она удовлетворяет соотношение.
Пример
Из колоды 36 карт выбирается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?
Решение. Пусть А? появление карты пиковой масти. Всего случаев 36. Число случаев, благоприятствующих событию А, m = 9. Значит Р (А) = 9/36 = 0,25.
(Историческая задача А. Муавра.) Для классического определения А. Муавр привел пример.
Если какое-то событие имеет 3 благоприятных случаях (шансы), 2 - неблагоприятных шансы, дробный выражение 3/5 будет точно говорить о вероятности ее появления и может рассматриваться как ее мера.
Большой вклад в развитие теории вероятностей сделал Л. Эйлер. Леонард Эйлер? швейцарский ученый (4 (15) .04.1707-7 (18) .09.1783).
20 октября 1720 тринадцатилетний Леонард Эйлер стал студентом факультета искусств Базельского университета. Отец хотел, чтобы он стал священником. Но любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность сына изменили эти намерения и направили Леонарда по иному пути. В творческом наследии ученого около 800 работ. Определенное внимание было уделено Эйлером и теории вероятностей, в том числе несколько работ Эйлера посвящены страхованию. Они является весомым вкладом в развитие теории вероятностей.
Теме демографии Эйлер уделял особое внимание. Среди работ этой тематики можно выделить "Исследование о смертности и умножение рода человеческого", "О умножение рода человеческого". В этих работах Эйлер решает многие задачи, которые легли в основу математической демографии. Эйлер создал возрастную теорию смертности. Он получил интересные выводы при решении задач об удвоении численности населения. Примером такой задачи является изложена ниже.