Комбинаторика (the combinatorics)? это раздел элементарной алгебры, в котором изучаются некоторые операции над конечными множествами и решаются задачи, связанные с этими операциями.
Слово «комбинаторика» впервые встречается в «Размышлениях о комбинаторное искусство»? работе двадцатилетнего Лейбница (1666), которая стала началом этого раздела математики как самостоятельной науки.
«Рассуждения» Лейбница содержало ряд теорем о сочетании и перестановки, но, кроме того, автор величайшей широкую применимость новой науки к таким разнообразных предметов, как смешивание цветов, логика, геометрия, военное искусство, грамматика, юриспруденция, медицина и богословие. Лейбниц обдумывал грандиозный замысел комбинаторики, считая, что так же как обычная математика занимается большим и малым, целым и частью, так комбинаторика должна заниматься одинаковым и разным, похожим и непохожим, абсолютным и относительным местоположением.
Понятие множества? одно из понятий, которое не определяется в математике. Например, множество натуральных чисел; множество простых чисел. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества. Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным. Такими множествами являются: множество всех двузначных чисел, множество вершин данного многоугольника и множество его диагоналей. Множество, которая содержит огромное количество элементов, называется бесконечной. Бесконечной множеством является множество всех натуральных чисел; всех простых чисел. Множество, не содержит элементов, называется пустым множеством.
I. Перестановки
Пусть имеется множество М, состоящая из n элементов: а1, a2, а3, ..., ап. Если переставлять эти элементы возможными способами, оставляя неизменным их общее число, получаем несколько последовательностей: а1, а2, а3, ..., ап, ..., а n-1, а n-2, ..., а1 и т. д. Каждая из таких последовательностей является перестановкой из данных n элементов.
Перестановкой (the permutation) с n элементов называется любая конечная последовательность (progression), получаемой в результате упорядочения некоторой конечного множества, составленной из n элементов. Число всех перестановок из n элементов обозначается Рn. Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n.
Систематические исследования по вопросам комбинаторики содержатся в работах Леви эн Герсона (XVIII в.), Он получил рекуррентную формулу для вычисления числа размещений из n объектов по p. Весомый вклад в развитие теории вероятности сделал Г.В.Лейбниц, в 1666 было опубликовано его книгу "Рассуждения о комбинаторное искусство". В этой работе Лейбниц существенно разработал комбинаторика, в первую очередь с целью более глубокого изучения логики. В одной из задач он находит по данным числом элементов количество перестановок из 24 элементов. В частности, у него записано, что количество перестановок из 24 элементов равно 24!
Согласно периодизации, предложенной К. А. Рыбниковым, развитие комбинаторного анализа делится на три периода:
1) до XVI века включительно - накопление комбинаторных фактов;
2) с XVII века до середины XIX века - от оформления комбинаторики к созданию комбинаторной школы;
3) с середины XIX века - развитие современного комбинаторного анализа.
Исследование становления фундаментального раздела комбинаторного анализа - теории соединений - полностью подтверждает обоснованность этих временных границ трех периодов.
Второй период развития комбинаторного анализy условно можно разделить на следующие этапы:
а) формирование теории сочетаний при решении общих проблем теории чисел, музыки и других;
б) становление комбинаторного счисления после формулировки Г.В. Лейбницем глобальной идеи создания общей характеристики - комбинаторики;
в) различные пути развития комбинаторного анализа в период XVIII - начало XIX века.
Приведем историческую задачу комбинаторики.
А держит паре с В, он вытащит из 24 игральных карт, из которых 10 карт разной масти, 4 карты разных мастей. Как соотносятся их шансы?