Два события называются противоположными (opposite), если они несовместимы и составляют полную группу.
В своих работах Я. Бернулли сознательно использует правило сложения вероятностей, однако самого правила автор не
сформулировал. Также Якоб Бернулли четко различал добавления совместных событий и несовместимых событий, что видно из приведенного ниже примера (в довольно интересной форме показан пример невыполнения приведенной теоремы сложения для суммы совместных событий): «Пусть два человека, которые заслуживают наказания смертью, вынуждены бросить игральные кости с условием, что тот, кто выбросит меньшее количество очков, будет наказан смертью, а другой, который выбросит большее количество очков, сохранит. Оба сохранят жизнь, если выбросят одинаковое количество очков. Мы найдем надежду первого 7/12 или 7/12 жизни, но из этого не следует, что для второго шансы будут 5/12 жизни, поскольку очевидно, что частицы их будут равновероятны. Поэтому другой также будет надеяться на 7/12 жизни, в сумме даст 7/6 жизни, то есть больше единицы. Вследствие этого могут быть случаи, когда оба человека останутся живыми ».
Есть Я. Бернулли нашел утверждение, которое сейчас мы записываем:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В)-Р (АВ).
Формулировка теоремы о сумме несовместных событий мы находим в работе Томаса Байеса «Опыт решения задач по теории вероятностей покойного уважаемого мистера Байеса, члена Королевского общества» (в 1763 г., через 2 года после смерти, работу было прочитано на заседании Лондонского королевского общества ). Теорема формулировалась так: «Если несколько событий является" неплотно "(несовместимыми), то вероятность того, что наступит какая-то из них, равна сумме вероятностей каждого из них».
"Неплотно" автор называет события, если появление одного исключает появление другого, мы называем их несовместимыми.
Независимость событий определил лишь Муавр: «Мы скажем, что два события независимы, когда каждая из них не имеет никакого отношения другой, а появление одного из них не оказывает никакого влияния на появление другой».
Более четко Муавром также было дано определение зависимых событий: «Два события зависимые, когда они связаны друг с другом и когда вероятность появления одного из них изменяется при появлении другой».
Исторический пример Муавра (для зависимых и независимых событий).
Пусть имеем две колоды карт одной масти, в каждой колоде от двойки до туза. Тогда вероятность того, что из каждой колоды наугад удается вытянуть по тузу будет 1/13 · 1/13 = 1/169. Мы имеем дело с двумя независимыми событиями. Если мы вынимаем 2 карты из одной колоды и спрашиваем о вероятности того, что при первом извлечении вынем туз, а при втором - двойку. То тут вероятность первого события 1/13, а второй - 1/12. Таким образом вероятность события, нас интересует 1/13 · 1/12 = 1/156.