Rational quantities
Прямая (straight line), на которой взято начало отсчета (zero point), задано единичный отрезок (unit segment) и показано положительное направление (positive direction) называется координатной прямой (координатная прямая - coordinate line).
Число, показывающее положение точки на прямой, называется координатой (координата - coordinate) этой точки.
Пример 1
Точка А имеет координату 1,5, точка В - координату 3. Пишут: А (-1,5), В (3).
Числа, которые находятся справа (from the right of) точки 0 на координатной прямой называются положительными (положительный - positive). Числа, которые находятся слева (from the left of) точки 0 на координатной прямой называются отрицательными (отрицательный - negative).
Числа, находящиеся на одном расстоянии от начала координат, но зависят от него по разные стороны, называются противоположными (противоположный - opposite).
Например, 2 и -2 - противоположные, 1,5 и 1,5 - противоположные.
Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль называют целыми числами (целое число - integer).
Числа положительные (цели и дробные), отрицательные (цели и дробные) и ноль называются рациональными числами (рациональное число - rational number).
Расстояние (distance) от начала отсчета до точки (точка - point), изображающая число, называется модулем (модуль - module) числа.
Модулем положительного числа и числа ноль есть то же число. Модулем отрицательного числа есть противоположное ему число.
Например
| 2 | = 2, | -3 | = 3, | -3,5 | = -3,5.
Сравнение рациональных чисел
Из двух чисел меньше считают то, которое находится левее на координатной динатний прямой, и больше того, которое находится правее. Любое отрицательное число меньше любого положительного. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.
Примеры
-12 <1, так как -12 - отрицательное, а 1 положительное;
-12> -24, Так как | -12 | <| -24 |.
Сложение рациональных чисел
Суммой двух чисел с одинаковыми знаками есть число, которое имеет тот же знак, что и слагаемые, а модуль его равен сумме модулей добавляют нкив.
Суммой двух чисел с разными знаками есть число, которое имеет тот знак, и слагаемое с большим модулем, а модуль равен разности модулей слагаемых.
Примеры
8 +5 = 13;
(-7) +12 = 5, так как 12-7 = 5 i 12> 7;
3 + (-3) = 0, так как 3-3 = 0;
3,5 + (-7,8) = -4,3, потому что 7,8-3,5 = 4,3 i 7,8> 3,5.
Вычитание рациональных чисел Чтобы вычесть любое число весьма уменьшаемого прибавить число обратное вычитаемое:
a-b = a + (-b).
Примеры
7-15 = 7 + (-15) = -8;
10 - (-7,4) = 10 +7,4 = 17,4.
Умножение рациональных чисел
Произведение двух чисел с одинаковыми знаками является число положительное, а модуль произведения равен произведению модулей множителей. Произведение двух чисел с разными знаками является число отрицательное, а модуль его равен к-Бутко модулей множителей.
Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю. Наоборот произведение может равняться нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Примеры
5.7 = 35, положительное, потому что 5 и 7 имеют одинаковые знаки;
4,8 · (-7) = -33,6, отрицательное, потому что 4,8 и -7 имеют разные знаки;
23,6 · 0 = 0, потому что второй множитель равен 0.
Деление рациональных чисел
Доли двух чисел с одинаковыми знаками является число положительное. Доля двух чисел с разными знаками является число отрицательное. Чтобы найти модуль доли, надо модуль делимого разделить на модуль делителя.
При делении нуля на любое число, не равное нулю, получим ноль. Делить на ноль нельзя.
Примеры
48:6 = 8, положительное, потому что 48 и 6 имеют одинаковые знаки;
44,2: (-2) = -22,1, отрицательное, потому что 44,2 и -2 имеют разные знаки;
0:4,6 = 0, так как делитель равен 0.
Вскрытие скобок
Если перед скобками стоит знак плюс, то, раскрывая скобки, знак каждого слагаемого, в скобках, сохраняем. Если перед скобками стоит знак минус, то, раскрывая скобки, знак каждого слагаемого, в скобках, меняем на противоположный:
a + (b + c) = a + b + c, a-(b + c) = a-b-c.
Упражнения
1. Показать на координатной прямой точки, которым соответствуют все целые числа, если
а) 10 <| x | <18 в) 10 <| x | <28;
б) | x | <10 г) | x-1 | <12.
2. Расположить в порядке возрастания числа:
-15, 3, -1, - | -4 |, | -2 |, 0, ½; 0,9; | 5 |; -4.
3. Расположить в порядке убывания числа:
-11; 0,65; | 0,63 |, - | 5,25 |, - | -5,26 |, - | -2,75 |; 7,4; | 0 |.
4. Найти a и b, если | a | + | b | = 0.
5. Найти a, если | a | + |-a | = 6.
6. Может сумма двух отрицательных чисел быть больше их доли?
7. Проверить равенство: | ab | = | a | · | b | при a = -5; b = 4.
8. Найти x и y, если | x + y | = 0.
Загрузка...