Monomials, polynomials
Простейшие выражения - числа, переменные, их степени и произведения называют одночлен (одночлен - monomial)
Пример 1
6, -7/12, z, x2, 3a · 5b - одночлены,
Если одночлен содержит только один числовой множитель, причем поставлен на первое место, и если каждая переменная входит только в один множителя, такой одночлен называется одночлен стандартного вида.
Пример 2
3a · 5c, 2x2x3, ab · 8 - нестандартный вид;
3xy, 5a, 8 - стандартный вид.
Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом (коэффициент - coefficient) этого одночлена.
Пример 3
12xy - коэффициент 12.
Сумма нескольких одночленов называют многочленом (многочлен - polynomial).
Пример 4
7x +2 a +5 - многочлен.
Каждый слагаемое многочлена называется его членом.
Например
многочлен 7x2 +2 x +7 xa содержит три члена: 7x2, 2x, 7a.
Многочлен, который содержит два слагаемых, называется двучленным.
Многочлен, который содержит три слагаемых, называется трехчлена.
Подобные члены многочлену - это такие слагаемые, которые отличаются только коэффициентами или совсем не отличаются.
Считают, что многочлен записано в стандартном виде, если все его члены - одночлены стандартного вида и среди них нет подобных.
Чтобы добавить два многочлена, достаточно соединить их знаком плюс.
Когда предлагается найти разность двух многочленов, это значит - от первого из них отнять второй. Выполняя такое задание, после первого многочлена пишут знак минус и взят в скобки второй многочлен. Раскрывая скобки, перед которыми стоит знак минус, знаки всех членов, которые были в этих скобках, меняют на противоположные.
Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на данный одночлен и результаты добавить.
Пример 5
(3x +7 y) · 6a = 18ax +42 ay.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения добавить.
Пример 6
(5a +7 b) · (2 +4 a) = 5a · 2 +7 b · 2 +5 a · 4a +7 b · 4a = 10a +14 b +20 a2 +28 ab.
Разложить многочлен на множители - это значит заменить его произведением нескольких многочленов, тождественным данном многочлену.
Один из способов разложения многочлена на множители - вине-нии общего множителя за скобки
ax + ay = a (x + y).
Способ группировки
ab + ac + xb + xc = (ab + ac) + (xb + xc) = a (b + c) + x (b + c) = (b + c) (a + x).
Формулы сокращенного умножения:
a2-b2 = (a-b) (a + b);
(A + b) 2 = a2 +2 ab + b2;
(A-b) 2 = a2-2ab + b2;
(A + b) 3 = a3 +3 a2b +3 ab2 + b3 или a3 + b3 +3 ab (a + b);
(A-b) 3 = a3-3a2b +3 ab2-b3 или a3-b3-3ab (a-b);
a3 + b3 = (a + b) (a2-ab + b2)
a3-b3 = (a-b) (a2 + ab + b2)
ax2 + bx2 + c = a (x-x1) (x-x2).