Изучение любого физического явления сводится к установлению зависимости между величинами, которые его характеризуют. Для сложных физических процессов, в которых определяющие величины могут существенно изменяться в пространстве и времени, установить зависимость между этими величинами довольно трудно.
В этих случаях на помощь приходит метод математической физики, исходит из того, ограничивается промежуток времени и по всему пространству рассматривается лишь элементарный объем. Это позволяет в пределах элементарного объема и выбранного малого отрезка времени игнорировать изменением некоторых величин, характеризующих процесс, и существенно упростить анализ.
Избранные таким образом элементарный объем dv и элементарный промежуток времени dt, в пределах которых рассматривается процесс, с математической точки зрения являются величинами бесконечно малыми, а с физической точки зрения-величинами еще достаточно большими, чтобы в их пределах можно было игнорировать дискретную здание среды и рассматривать ее как континуум (сплошную). Полученная таким образом зависимость является общим дифференциальным уравнением процесса, рассматривается. После интегрирования дифференциального уравнения можно получить аналитическую зависимость между величинами для всей области интегрирования и всего промежутка времени.
При решении задач, связанных с определением температурного полю, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности, которое получено при следующих допущениях:
- Тело однородное и изотропное;
- Физические параметры постоянны;
- Деформация объема, рассматривается, обусловленная изменением температуры, и очень малой величиной по сравнен с самим объему;
- Макроскопические части тела неподвижны относительно друг друга;
- Внутренние источники тепла в теле, в общем случае могут быть заданы как qv = f (x, у, z, т), распределены равномерно.
В основе вывода дифференциального уравнения теплопроводности лежит закон сохранения энергии, который в данном случае может быть сформулирован следующим образом: количество теплоты, которое введено в элементарный объем извне некоторое время вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников, равна изменению внутренней энергии или энтальпии вещества (в зависимости от рассмотрения изохорно или изобарного процесса), содержащегося в элементарном объеме. Величина а называется коэффициентом температуропроводности и является физическим параметром вещества. Он имеет значение для нестационарных тепловых процессов и характеризует скорость изменения температуры. Измеряется коэффициент температуропроводности в квадратных метрах в секунду (м / с).
Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерцийних свойств тела. С уравнением (2.9) следует, что изменение температуры во времени dt / Эх для любой точки пространства пропорциональна величине а. Иначе говоря, скорость изменения температуры и любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температуропроводности а. Поэтому при прочих равных условиях выравнивания температур во всех точках пространства будет происходить скорее в том теле, которое имеет больший коэффициент температуропроводности. Величина коэффициента температуропроводности зависит от природы вещества. Например, жидкости и газы имеют большую тепловую инерционность и, следовательно, малый коэффициент температуропроводности. Металлы имеют малую тепловую инерционность, так как они имеют большой коэффициент температуропроводности.