Кроме дискретных случайных величин, принимающих отдельные числовые значения и образуют конечную или бесконечную последовательность чисел, часто также встречаются случайные величины, возможные значения которых заполняют некоторый интервал.
Известно, если событие невозможно, то вероятность ее появления равна нулю. В случае случайной величины число ее возможных значений бесконечно. Вероятность того, что эта величина примет какое-либо конкретное значение, равна нулю. Однако из этого не следует, что это событие невозможно, потому что в результате испытания она может приобрести произвольное из своих значений. Нулевая вероятность может быть не только для невозможной, но и для возможного события. Понятие "события возможны, но которые имеют нулевую вероятность" кажется на первый взгляд парадоксальным. В действительности он не более парадоксальное, чем представление о теле, имеющий определенную массу, но ни одна из точек, находится внутри тела, не имеет определенной конечной массы. Как угодно малый объем, выделенный из тела, имеет определенную конечную массу; эта масса приближается к нулю при уменьшении объема и в пределе равна нулю для точки. Аналогично для непрерывно распределенной случайной величины вероятность попадания на сколь угодно малый интервал отлична от нуля в то время как вероятность попадания в строго определенную точку равна нулю. В случае непрерывной случайной величины имеет смысл говорить о вероятности попадания случайной величины в интервал, а не о вероятности того, что она примет определенное конкретное значение.
Так, при изготовлении валика нас не интересует вероятность того, что его диаметр будет равен номиналу. Для нас важна вероятность того, что диаметр валика не выходит из поля допуска.
В XVIII в. быстро начала развиваться теория погрешностей (ошибок) наблюдений. "Погрешность измерения в зависимости от случая может принимать различные значения" - основная мысль ученых, занимавшихся теорией случайных величин, которая в то время была пока неизвестной для них. Впервые такая мысль была высказана Галилеем задолго до работ известных математиков, занимавшихся проблемой случайной величины. Он ввел в оборот понятие "случайная" и "систематическая" погрешность измерения.
Погрешность измерения является случайной величиной с определенным неизвестным (пока) распределением вероятности.
В своих работах Я. Бернулли рассмотрел количество появлений события А в п независимых опытах, т.е. случайную величину, которая может принимать значения 0, 1, 2, ..., п с вероятностями, которые мы вычисляем по формулам Бернулли.
Сначала ученые считали, что возможные значения погрешностей измерений составляют арифметическую прогрессию с неопределенной, но очень малой разницей. Отказавшись от такой мысли, ученые начали предполагать, что возможные значения, которые принимают погрешности наблюдений, заполняют определенный отрезок, а вероятности возможных значений определялись путем определения плотности распределения.
В первых работах Я. Бернулли вопрос плотности распределения рассматривается с некоторой неточностью. В работах Лапласа, Гаусса понятие плотности распределения было отмечено более точно и приближалось к современному. Частности Лаплас в своей известной книге "Аналитическая теория вероятностей" приводит формулу для вычисления плотности распределения суммы, имея плотности распределения слагаемых, ученый умело оперирует с плотностями распределения, однако исследователь не вводит понятие случайной величины. Лаплас обходил введения этого понятия или путем использования теории погрешностей измерений, или используя "язык" математического анализа.
Понятие случайной величины не введены до первой пол. Х1Х в. Его введению побудили исследования бельгийского математика-исследователя А. Кетле (1796-1874). Ученый заметил связь между размерами животных и их возрастом. Эта связь подлежал нормальному закону распределения, для которого нужно было введение случайной величины.