Очень важными в теории вероятностей есть отдельные числовые параметры (the number of parameters), характеризующие существенные черты распределения случайных величин: математическое ожидание (the mathematical expectation), что
является некоторым средним значением, вокруг которого основываются возможные значения случайной величины; дисперсия (dispersion) и среднее квадратическое отклонение (the mean square deviation), характеризующих степень рассеивания (the power dissipation) случайных величин в окрестности математического ожидания.
Понятие математического ожидания в простом элементарном (но не в явном) виде появилось довольно рано в истории развития аксиоматического части теории вероятности. Неявное (косвенно) оно присутствовало в переписке математиков Б. Паскаля и математика Пьера Ферма (1654). Однако ученые в своей переписке только подсознательно использовали данное понятия, не означая его. Впервые формальное определение математического ожидания дал голландский математик Х. Гюйгенс в своей книге "Математические этюды" (1657), (которая начала ХVIII в. Считалась образцовой). Гюйгенс пишет: "Если число случаев, в которых можно получить сумму а, равно, и число случаев, в которых можно получить сумму b, равно q, и все случаи можно получить одинаково легко.
Это и есть определение математического ожидания для дискретных случайных величин. Определение, приведенное Гюйгенсом, фактически является обобщенным понятием среднего арифметического, которое широко применялось в торговле и промышленности для определения средних цен, среднего продукта. Для Голландии середины XVII в. это естественно, поскольку именно в это время в этой стране, раньше во многих других, начал развиваться торгово-промышленный и банковский учет. Именно поэтому терминология Х.Гюйгенса носит коммерческий характер, в частности, ученый считает, что математическое ожидание - это цена шанса на выигрыш в элементарной игре. Он приходит к выводу, что справедливая цена - это средняя цена. Сам Х. Гюйгенс не называет математическое ожидание так, он использует термин "стоимость шанса".
Идея определения понятия математического ожидания присутствует в книге М. Бернулли "О применении искусства предположений" (XVIII в.) И в работе, ей предшествовала, "Искусство предположений" Д. Бернулли (1713) (оба математики относятся к семье известных швейцарских математиков). Кроме того, Д. Бернулли сделал сравнения формул для вычисления математических ожиданий правилу вычисления координат центра тяжести системы материальных точек.
Стоит заметить, что география развития понятия математического ожидания достаточно широкой - охватывает практически всю Европу, что было характерно для XVIII в., Поскольку в большей степени внимание математиков привлекало исследование вопроса вероятности случайного события. Например, в известной в то время энциклопедии о вероятности? книге П. Лапласа "Аналитическая теория вероятностей" нет ни определения математического ожидания, ни правил и теорем для него, следовательно, развитие понятия математического ожидания носил диалектический характер. С одной стороны, внимание ученых было приковано к понятию вероятности, с другой - к понятиям математического ожидания и дисперсии для в.в., которые были введены несколько позже (1936 - 1938 рр.) П.Л. Чебышевым. В лекциях, которые он читал в Петербургском университете, он говорит о величинах (подразумевая случайные величины), их математическое ожидание и дисперсию. Однако в своей книге "Опыт элементарного анализа" (1845 г.) автор П. Л. Чебышев не упоминает ни о случайные величины, ни о математическом ожидании, ни о дисперсии.