Нормальный закон распределения (normal law of distribution) (еще называется законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое состояние. Это закон,
который часто встречается на практике. Главная особенность, которая выделяет нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.
Так, например, большое количество пушечных выстрелов, совершенных в различных условиях, показывает, что рассеяние снарядов на плоскости при выстреле из одной пушки при установленном прицеле подлежит нормальному закону.
"Универсальность" нормального закона объясняется тем, что любая случайная величина, которая является суммой большого числа отдельных числовых значений, каждое из которых подчиняется различным законам распределения и незначительно влияет на сумму, распределена почти по нормальному закону.
Большинство случайных величин, таких, например, как погрешности измерений, погрешности пушечных стрельб и т.д. могут быть представлены в виде суммы большого количества малых слагаемых? элементарных погрешностей, каждая из которых определяется действием отдельной причины, не зависит от других. Каким законам деления не подчинялись отдельные элементарные погрешности, особенности этих распределений в сумме большого количества слагаемых нивелируются и сумма подчиняется закону, близкому к нормальному. Суммированы погрешности в общей сумме должны играть относительно малую роль.
Возникновение нормального закона распределения как одного из фундаментальных законов (the fundamental laws) теории вероятности связано непосредственно с развитием теории погрешностей. Еще Тихо де Браге в 80-х гг XVI в. для устранения погрешностей проводил наблюдения одного и того же объекта в видоизмененных условиях, и, комбинируя эти наблюдения, пытался избавиться от случайных погрешностей.
А. Лежандр в своей работе «Новые методы определения орбит комет» в приложении «О методе наименьших квадратов» предложил способ наименьших квадратов: «Когда все условия задачи выражены соответствующим образом, нужно так подобрать коэффициенты, чтобы погрешности были малейшие».
Этот метод заключается в том, чтобы сводить сумму квадратов погрешностей к минимуму. «Уравнений получаем ровно столько, сколько неизвестных ... Способ, который я называю способом наименьших квадратов, пожалуй, сможет принести большую пользу во всех вопросах физики и астрономии, где требуется получить наиболее точный результат ». Многие вопросы теории погрешностей смогли развязанными только благодаря теории вероятностей.
Каким способом распределяются погрешности при измерениях? Подлежат они определенному закону? Существует способ определения границы числового значения погрешности при данном измерении? Эти вопросы встали перед учеными в конце XVIII века. Их решение стало возможным только благодаря теории вероятностей.
В начале XIX в. два математике, независимо друг от друга, почти одновременно нашли закон, по которому распределяются случайные погрешности. Это нормальный закон распределения.
Первым из этих математиков был великий немецкий ученый К. Ф. Гаусс (1777-1855 гг), второй - малоизвестный американский математик Р. Едрейн? (1775-1843 гг.) К конечного результата - нормального закона распределения каждый из математиков шел своим путем.
Работа Едрейна была опубликована в 1808 году, работа Гаусса "Теория движения" вышла в свет в 1809 году. Г. Едрейн решал конкретную задачу, при ее обобщении и получил распределение в. в. (Погрешностей).
Гаусc занимался астрономией и геодезией, что привело его к баготочисельних способов обработки результатов. В астрономии и геодезии проводятся баготочисельни измерения в различных местах, различными инструментами. Результаты этих измерений допускали ошибки. Поэтому перед Гауссом встал вопрос установления наиболее вероятного значения искомой величины.
Расчеты привели Гаусса к фундаментальному способа наименьших квадратов, который разрабатывал Лежандр, и до выяснения центрального значения нормальной кривой распределения в вопросах, связанных с теорией вероятности.
Теория погрешностей, разработана Гауссом, требовала условий применения нормального закона распределения, которая, в свою очередь, привело к появлению задачи об оценке параметров нормального закона распределения. Гаусс обосновал способ наименьших квадратов с помощью теории вероятностей.
Впервые метод наименьших квадратов был опубликован Гауссом в 1809 г. В одном из своих писем к Ольберт Гаусс пишет: "Чтобы наилучшим образом представить несколько величин, которым нельзя дать точных значений, нужно свести к минимуму сумму квадратов погрешностей". Гаусc делает акцент на том, что результаты должны быть не из отдельных наблюдений, а из комбинированных. При этом, погрешности, по возможности, будут уничтожаться.