Постановка задачи. Пусть на основе данного статистического материала нам нужно проверить гипотезу Н; которая утверждает, что случайная величина имеет функцию распределения F (x).
Для того, чтобы принять или опровергнуть гипотезу Н, будем рассматривать случайную величину η (y), характеризующий
степень различия теоретических и статистических утверждений. Величину η можно выбрать различными способами. Например, по η (y) можно взять максимальное отклонение статистической функции распределения от теоретической F (x)
Закон распределения случайной величины η (yи) зависит от закона распределения случайной величины ξ, над которой выполнялись опыты, и от числа опытов n.
Пусть в результате проведенных n опытов над случайной величиной ξ величина η приняла значение в. Спрашивается, можно объяснить принятое значение η случайными причинами, или же это значение слишком велико и указывает на наличие существенных различий между теоретическим и статистическим распределением, то есть на ошибочность гипотезы Н?
Пусть гипотеза Н истинна. Найдем вероятность того, что случайная величина η за счет случайных причин, Связано с ограниченным числом исследовательского материала, примет значение не менее, чем исследовательское значение у, то есть найдем вероятность. Если эта вероятность мала, то гипотезу Н следует опровергнуть как маловероятно, если эта вероятность велика, то экспериментальные данные не противоречат гипотезе Н.
Наиболее простым методом проверки гипотез является так называемый критерий согласия академика А. Н. Колмогорова.
Схема применения А. Н. Колмогорова:
1. По результатам n проведенных измерений строится статистическая функция распределения F * (x);
2. На том же графику строится предложена теоретическая функция распределения F (x);
3. Определяется максимальный размер модуля различия их ординат
Статистика возникла не позднее XVIII века. В правителей государств была необходимость собирать данные о своих народы и страны. Ее содержание расширился в начале XIX века и начал включать сбор и анализ данных в целом. Сейчас статистические данные широко применяются в области управления, бизнеса, естественных и социальных наук.
Историческое развитие методов статистических исследований.
1) К первому этапу, как уже было упомянуто, относятся методы, описанные в Библии (например книга Чисел, где приводится число воинов в различных племенах). С математической точки зрения дело сводилось к подсчету числа попадания значений наблюдаемых признаков в определенные градации.
2) В дальнейшем результаты обработки статистических данных стали подавать в виде таблиц и диаграмм.
3) Математические основы статистики были заложены в XVII и XVIII веках параллельно с развитием теории вероятностей. Сразу после возникновения теории вероятностей (Паскаль, Ферма, XVII век) вероятностные модели стали использоваться при обработке статистических данных. Например, изучалась частота рождения мальчиков и девочек.
Пьер Симон Лаплас (1774) сделал первую попытку вывести правило сочетания наблюдений с принципами теории вероятностей. Он показывал законы вероятности ошибки на кривой. Лаплас вывел формулу для средней из трех наблюдений, также дал формулу для закона объекта ошибки (1781).
4) Метод наименьших квадратов был изобретен на рубеже XIX века несколькими авторами. В 1794 г. (по другим данным - в 1795 г.) К. Гаусс разработал метод наименьших квадратов, один из наиболее популярных ныне статистических методов, и применил его при расчете орбиты астероида Церерра - для борьбы с погрешностями астрономических наблюдений. С тех пор новые методы теории вероятностей и статистики были в постоянном развитии.
5) Современный этап развития статистических методов можно отсчитывать с 1900 г., когда англичанин К. Пирсон основал журнал «Biometrika». Первая треть ХХ в. прошла в направлении исследований параметрической статистики. Изучались методы, основанные на анализе данных из параметрических семейств распределений, описываемых кривыми семейства Пирсона. Наиболее распространенным был нормальный (Гаусса) распределение. Для проверки гипотез использовались критерии Пирсона, Стьюдента, Фишера, Колмогорова. Было предложено метод максимального правдоподобия, дисперсный анализ, сформулированы основные идеи планирования эксперимента.
Итак, статистика как наука была создана, по общему мнению специалистов, сравнительно недавно - в первой половине ХХ в. Именно тогда были разработаны основные идеи и получены результаты. Начиная с 70-х годов. исследования по математической статистике посвящены обобщению и дальнейшему математическому изучению этих задач. Поток новых математических результатов (теорем) не ослабевает, но новые практические рекомендации по обработке статистических данных при этом не появляются. Можно сказать, что математическая статистика как научное направление замкнулась в себе.
Загрузка...